Fonctions exponentielle et W de Lambert

[Yaacov]

Bonjour,

Je me demande est-ce que la fonction exponentielle est proportionnelle ou non ? Par exemple, hier, j'ai ouvert le robinet pour me laver les mains et j'ai pensé à la fonction exponentielle (en supposant qu'il y a une quantité d'eau infini sur terre), le bouton pour faire couler l'eau froide (ou l'eau chaude) c'est l'axe des abscisses et la courbe c'est l'eau qui coule (même si on ne peut pas faire tourner le bouton d'eau froide ou chaude à l'infini). Est-ce que cet exemple du robinet est un bon exemple car la fonction exponentielle est proportionnelle ou ce n'est pas un bon exemple car la fonction exponentielle n'est pas proportionnelle et dans ce cas, un bon exemple serait la quantité de kérosène consommée en fonction de la vitesse. La quantité de kérosène qu'un avion consomme à une vitesse, par exemple 800km/h, n'est pas proportionnelle à la quantité de kérosène consommée à quelqu'autre vitesse.

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la fonction W de Lambert ? J'ai du mal à comprendre. Et est-ce qu'il est possible pour mieux la comprendre de donner des exemples d'applications dans la vie de tous les jours ? Ou au moins des exemples simples de la vie de tous les jours qui sont des implémentations de la fonction W de Lambert ?

Merci.

[Lostounet]

Bonjour,

Je me demande est-ce que la fonction exponentielle est proportionnelle ou non ? Par exemple, hier, j'ai ouvert le robinet pour me laver les mains et j'ai pensé à la fonction exponentielle (en supposant qu'il y a une quantité d'eau infini sur terre), le bouton pour faire couler l'eau froide (ou l'eau chaude) c'est l'axe des abscisses et la courbe c'est l'eau qui coule (même si on ne peut pas faire tourner le bouton d'eau froide ou chaude à l'infini). Est-ce que cet exemple du robinet est un bon exemple car la fonction exponentielle est proportionnelle ou ce n'est pas un bon exemple car la fonction exponentielle n'est pas proportionnelle et dans ce cas, un bon exemple serait la quantité de kérosène consommée en fonction de la vitesse. La quantité de kérosène qu'un avion consomme à une vitesse, par exemple 800km/h, n'est pas proportionnelle à la quantité de kérosène consommée à quelqu'autre vitesse.

Est-ce que quelqu'un peut m'expliquer la fonction W de Lambert ? J'ai du mal à comprendre. Et est-ce qu'il est possible pour mieux la comprendre de donner des exemples d'applications dans la vie de tous les jours ? Ou au moins des exemples simples de la vie de tous les jours qui sont des implémentations de la fonction W de Lambert ?

Merci.

Bonjour,

Que veux-tu dire par "la fonction exponentielle est proportionnelle" ? C'est pas très clair...
Tu dis que l'axe des abscisses c'est le bouton de l'eau... c'est pas super réaliste (à moins que tu veuilles dire que la fonction qui associe le débit de l'eau (combien d'eau coule) est "exponentiel" par rapport à combien tu tournes le robinet ?
Ce n'est pas l'exemple le plus clair en tout cas.

La fonction exponentielle a de nombreuses applications dans la vie quotidienne. Par exemple, l'évolution de la population mondiale est en un sens "exponentielle" par rapport aux nombres d'années (axe des abscisses). L'exponentielle a plein d'utilisations en physique (radioactivité...). C'est une fonction de base et très importante.

Par contre la fonction W de Lambert, c'est beaucoup plus compliqué. Je ne pense pas qu'il y ait d'application "si évidente" au quotidien d'une telle fonction, c'est juste une fonction spéciale, qui est réciproque de la fonction f(x) = x*e^x. Mais attention, cette fonction n'est pas "vraiment" une fonction comme la fonction exponentielle: on sait qu'une fonction associe à un réel une image unique. La fonction de Lambert peut associer plusieurs images à un même nombre, c'est pas vraiment une fonction telle qu'on les apprend au lycée.

C'est comme la fonction "cos" et "arccos" qui sont réciproques l'une de l'autre, la fonction W de Lambert est réciproque de f(x) = x*e^x, c'est plutot un outil mathématique qu'une fonction qu'on rencontre au quotidien en prenant le bus.

Et surtout, la seule fonction qui représente une situation de proportionnalité c'est la fonction linéaire (prix à payer en fonction du nombre de kgs achetés par exemple, c'est proportionnel...). Donc l'exponentielle c'est pas vraiment proportionnel (elle "explose" ou bien elle diminue plus ou moins vite en fonction des abscisses donc pas vraiment "proportionnelle")

[Yaacov]

Merci pour la réponse.