Fonctions encore et toujours ...

[girl2067]

Bonjour j'ai un dm de maths noté à faire j'aurais souhaité avoir un peu d'aide : voici l'ennoncé ( il est très court je vous l'accorde ) :

Démontrer que la fonction f définie sur R par
f(x)= x²-6x+5 admet un minimum.

Voici ce que j'ai commencé à faire, mtn je ne sais pas trop si c'est la bonne démarche :

A l'aide de la calculatrice je conjecture que la fonction est décroissante sur l'intervalle ]-infini;3]
et quelle sera croissante sur l'intervalle [3;+infini[

f(x) = x²-6x+5

(x-3)²-4
=x²-2*3*x+3²-4
=x²-6x+9-4
=x²-6x+5
= f(x)

dnc sur l'intervalle ]-infini;3] soient a et b deux réels tels que a > (b-3)² car -3> (b-3)² -4
f(a) >> f (b)
dnc la fonction sera bien decroissante

Sur l'intervalle [3; +infini [ soient a et b deux reels tels que 3<a<<b
a-3<< b-3
(a-3)² << (b-3)²
(a-3)²-4<< (b-3)² -4
f(a) << f (b)
dnc la fonction sera bien croissante

A present je ne sais plus trop quoi faire :s ... car le but de l'exercice est dnc de trouver le minimum...

merci d'avance pour votre aide !

[Lierre Aeripz]

Tu pars de . Tu as déjà ça et c'est l'essentiel du boulot.

Tu sais qu'un carré est toujours positif. Donc pour x réel, . Or . Donc pour x réel,

Cela est la définition d'un minimum.

[girl2067]

ok, et ce que j'ai fais avant ca peut etre juste aussi ou pas?

[fibonacci]

bonjour,

l'équation à une racine évidente sans faire de calcul si on remplace x=1

nous avons 1^2-6.1+5=0

d'où (x-1)(ax+b) avec un peu d'habitude on voit que b=-5, a=1

donc (x-1)(x-5) cette équation traverse 2 fois l'axe des x pour les valeurs x=1, x=5 qui l'annule...bonne continuation

[nico74]

ce que tu as fait avant est bien entendu juste. Mais ce raisonnement est beaucoup trop long par rapport à celui de Lierre Aeripz qui va directement à l'essentiel (c'est sûr qu il fallait y penser).

Mais si tu veux pousuivre dans ta lancé, tu as montré que f est décroissante sur et croissante sur .

f admet donc un minimum en et vaut

[girl2067]

ok, merci pour votre aide :++: