Fonctions dérivées

[Fraizy]

Bonjour,
Voilà j'ai un exercice sur les fonctions dérivées et je n'arrive pas à résoudre les 2 premières questions et la 7):

Soit f la fonction définie sur les réels par f(x)= (sin x)(1+ cos x) et (C) sa courbe représentative dans (O;i;j) repère orthonormé.
1) Montrer que f est périodique de période 2pi
2) Montrer que f est impaire
3) Montrer que la dérivée peut s'écrire f'(x)= (1+cos x)(2cos x -1)
4) Etudier le signe de f'(x) sur [0;pi] à l'aide d'un tableau.
5) En déduire les variations de f sur [-pi ; pi]
6) Donner l'équation de (T) tangente à (C) au point d'abscisse 0
7) Construire (C) sur [-pi ; pi] ainsi que les tangentes particulières (les vecteurs de bases seront représentés par 2 centimètres)

Merci d'avance pour votre aide =)

[Ericovitchi]

Essayes de commencer :
Dire que la période est 2Pi c'est dire que f(x+2pi)=f(x) par exemple
et dire qu'elle est impaire c'est dire que f(-x)=-f(x)
Pour la dérivé c'est un uv donc ça se dérive en u'v+v'u

lances toi et dis nous où tu butes

[Fraizy]

Donc voilà ce que j'ai trouvé :

1) sin(x+2pi)(1+cos(x+2pi))= (sin x)(1+cos x)= -f(x)
f(x+2pi)= f(x) donc f est périodique de période 2pi

2) f(-x)= (sin(-x))(1+ cos(-x))= -f(x) Donc f est une fonction impaire

3) f(x)= (sin x)(1+ cos x)
avec u(x)= sin(x) ; u'(x)= cos(x)
avec v(x)= 1+ cos(x) ; v'(x)= -sin(x)
donc f'(x)= u'v + v'u = cos(x)(1 + cos(x))+ (-sin(x))(sin(x))= cos(x)+ cos²(x)- sin²(x)
Mais après je ne sais pas comment aboutir à f'(x)= (1+cos x)(2cos x -1) ?

[greg78]

bonjour,

développe l'expression (1+cos x)(2cos x -1) et en la manipulant un peu tu arrives à ce que tu avais trouvé

[Ericovitchi]

Il faut savoir ses formules de trigo :

Ca aide

[Fraizy]

3)

f'(x)= u'v + v'u = cos(x)(1 + cos(x))+ (-sin(x))(sin(x))
= cosx +cos²x - sin²x
= cosx + cos²x -(1-cos²x)
= cosx + 2cos²x -1
d'autre part :
(1+cosx)(2cosx-1) = 2cosx - 1 + 2cos²x - cosx
= cosx +2cos²x -1

ça correspond bien =)


Je suis passée à la question 4) où il faut faire un tableau de signe de f'(x)=(1+ cos x)(2cos x -1) mais je ne sais pas si c'est correct :

[Fraizy]

Ensuite pour la question 5) où il faut en déduire les variations de f, j'ai fait ceci :

Mais je ne sais pas une fois de plus si c'est correct, pourriez-vous me vérifier s'il vous plait ?

[Fraizy]

Ensuite pour la question 6) : donner l'équation de (T) tangente à (C) au point d'abscisse 0.

J'ai calculé f'(0) le nombre dérivé de f en 0 mais à la fin du calcul ça a donné : f'(0) lim quand h tend vers 0 sin(0+h)(1+cos(0+h)) = 0 (c'est normal ?)

ensuite à partir du résultat j'ai résolu l'équation pour trouver l'équation de la tangente et ça a donné y= 0x (c'est normal ?)

[greg78]

Le tableau de signe est faux ! cos(1) n'est pas égal à 1/2.
Il faut que tu revoies le point d'annulation du terme (2cos(x)-1).
Du coup le table des variations de f est aussi faux.

Enfin pour l'équation de la tangente, je ne vois pas quel problème tu peux avoir dans le calcul de f'(0). Pourquoi as tu une limite ? f'(0), c'est simplement f' appliqué en 0. On connaît f', c'est x->(1+cos(x))*(2cos(x)-1)
Il suffit de la calculer en 0. Tu remet ca dans la formule de la tangente en un point et tu as ton expression.

[Fraizy]

Voilà les 2 tableaux refaits. j'espère que c'est correct cette fois... ^^

4)

5)

Par contre, je n'ai pas compris pour le calcul de la tangente...

[Ericovitchi]

I veut dire que la tangente à une courbe en un point x est la droite qui passe par ce point et qui a pour pente f'(x)
En l'occurrence ton point est l'origine puisque f(0) = 0
donc ta tangente a pour équation y = f'(0) . x
Restes à calculer sans se tromper f'(0).

[Fraizy]

Et que sont "les vecteurs de base" dans la question 8) ?

[Fraizy]

D'accord, mais j'ai calculé f'(O) et j'ai trouvé f'(0)= 0
En l'occurence la tengente a pour équation y= 0x ce n'est pas normal...

[Ericovitchi]

Attends, f'(x) = = cosx +2cos²x -1

f'(0)= cos (0) + 2 cos(0) - 1

sachant que cos (0) = 1 tu trouves f'(0) = 0 ? Apprends à faire des additions :hum:

Ce que l'on appelle les vecteurs de base, ce sont les vecteurs unitaires des axes :

[Fraizy]

Ahh d'accord! Parce que pour calculer la tangente j'ai utilisé la formule f'(0)= (f(0+h)-f(0))/ h c'est pour ça que ça ne marchait pas ^^. J'ai trouvé y= 2x et c'est surement ça.