Fonctions dérivées.

[boubou9372230]

Bonjour, pouvez-vous m'aider, s'il vous plait, je ne sais pas du tout comment faire. Quelqu'un pour m'expliquer, s'il vous plait ?

Exercice 1 :

Une compagnie veut faire une promotion sur un vol Paris-Londres. Le nombre de places disponibles au maximum est de 12 000. Le nombre de passagers intéressés est donné par la fonction p définie sur l’intervalle par où x désigne le prix du billet d’avion en euros.

Problématique 1 : Quel prix du billet doit fixer la compagnie pour espérer faire la meilleure recette possible ?
Problématique 2 : Quel sera alors le nombre de passagers ?

1. Montrer que la recette R(x) est donné par R(x)=-1,2x(au cube)+12000x.
2. Calculer la recette de la compagnie si le prix du billet est de 40 €, de 80 € ?
Pour répondre à cette question, je crois qu'il faut que je remplace les x par 40 puis par 80. Est ce bien cela ?
3. Calculer R’(x) où R’ est la dérivée de la fonction R.
4. Déterminer la (ou les) valeur(s) qui annule(nt) R’ (arrondir au dixième). Justifier le résultat.
5. Faire le tableau de variation de la fonction R.
6. Répondre à la 1ère problématique.
7. Répondre à la 2ème problématique.

Exercice 2 :

On suppose qu’une compagnie prend le risque de surréservation (action de réserver des places en nombre plus important que celui des places disponibles en prévision de défaillances éventuelles) d’un maximum de 50 sur un avion de 100 places.
On admet que ce risque peut être modélisé par la fonction R définie sur l’intervalle par où x désigne le nombre de places de surréservation.

Problématique : Quel est le nombre de places optimal de surréservation pour que le risque encouru par la compagnie soit minimal ?

1. Tracez la représentation graphique de la fonction dérivée de R, émettre une hypothèse sur la problématique.
2. Répondre à la problématique en utilisant le vocabulaire mathématique adapté lié à une étude de fonction.
3. Calculer R’(x) où R’ est la dérivée de la fonction R.
4. Calculer R’(x) = 0.
5. Etudier le signe de R’(x) puis en déduire le tableau de variation de la fonction R sur l’intervalle.
6. Répondre à la problématique.

[mathelot]

bonsoir,
Exercice 1: quelle est la formule pour la fonction p ?

[pascal16]

E1.2 / oui, on demande R(40) et R(80), la recette en euros pour un billet à 40€ ou 80 €

[boubou9372230]

Bonsoir,

La fonction p est : p(x)=12000-1,2x²
Sur l'intervalle [0;100]

[mathelot]

Bonsoir,

La fonction p est : p(x)=12000-1,2x²
Sur l'intervalle [0;100]

Question E1.1
La recette est le produit du nombre de passagers interessés, par le prix du billet:

[boubou9372230]

Bonsoir,

Comment trouvez-vous que c'est égale à p(x) fois x ?

[pascal16]

le nombre de places vendues fois le prix de vente de chaque place, ça donne la recette

[mathelot]

je plussoie sur ce qu'écrit Pascal.
Il y a des passagers qui sont intéressés. Il achètent chacun un billet.

Il y a p(x) passagers et le billet vaut x euros.

[boubou9372230]

D'accord, je pense avoir compris.. Merci.
Et pour la 2, j'ai fait -1,2 X 40(au cube) + 12 000 X 40 = 4 032 000
-1,2 X 80(au cube) + 12 000 X 80 = 345 600
Et pour la 3, j'ai trouvé R'(x) = -3,6 + 12 000
Est-ce bien cela ?

[mathelot]

D'accord, je pense avoir compris.. Merci.
Et pour la 2, j'ai fait -1,2 X 40(au cube) + 12 000 X 40 = 403 200
-1,2 X 80(au cube) + 12 000 X 80 = 345 600 exact

Est-ce bien cela ?

[mathelot]

Et pour la 3, j'ai trouvé R'(x) = -3,6 x^2+ 12 000

factoriser -3,6

[boubou9372230]

Et comment fait-on pour factoriser -3,6 ?
Excusez-moi, je suis vraiment nul en maths...

[mathelot]

[boubou9372230]

Je ne comprends pas tout...
Pourquoi 12 000 devient 1 000 et 3,6 devient 3 ?...

[mathelot]

on a multiplié par 10 , haut et bas, puis divisé par 12

[boubou9372230]

Pourquoi multiplié par 10 et divisé par 12 ?

[mathelot]

pour obtenir une fraction irréductible

[boubou9372230]

Oui mais d'où sortent t-ils ? 10 et 12..

[boubou9372230]

En utilisant votre fraction irréductible, pour le tableau de variation, j'ai trouvé :

x 0 58 100

signe de R'(x) - 0 +

variation de R 12 000 (flèche qui descend) -110,4 (flèche qui monte) -24 000

J'ai donc répondu à la question 6, que c'est 100€. Et à la question 7, que c'est -24 000.
Mais, je ne trouve pas ça logique...

[mathelot]

Le signe de R'(x) est faux. c'est le contraire qui est vrai.

R est croissante sur [0;58] et décroissante sur [58;100]
son maximum est 461 880 euros (100/sqrt{3})

p(58)=7963 passagers