Fonctions et dérivation

[Sheikiz]

Salut,
j'ai qqs petits problèmes en maths et j'ai besoin de votre aide pour un devoir maison que je dois rendre jeudi prochain. merci à ceux qui m'aideront!

Soit f la fonction définie et dérivable sur l'intervalle [0;4] dont la représentation graphique , dans un repère orthonormal (O;i,j), est la courbe C ci-dessous.



Les points M, N, P, Q et R apartiennent à C. Leurs coordonnées sont:

M(0;3/2), N(1;7/2), P(2;5/2), Q(3;3/2) et R (4;7/2).

La courbe C admet en chacun des points N et Q une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
La droite est la tangente à la courbe C au point P ; elle passe par le point S de coordonnées (3;1).

1. a. Donner f '(1), f '(2) et f '(3).
b. Déterminer une équation de la droite .
2. a. Déterminez à l'aide du graphique le nombre de solutions de l'équation f(x)=3 sur l'intervalle [0;4].
b. Tracer la droite d'équation y= (x/2)+(3/2) dans le repère précédent puis, à l'aide du graphique, résoudre l'inéquation f(x) < (x/2)+(3/2).
3. La fonction f est la dérivée d'une fonction F définie sur l'intervalle [0;4]. En justifiant la réponse, donner le sens de variation de F.
4. Soit g la fonction définie sur l'intervalle [0;4] par:
g(x)=1/f(x)
a. Donner le tableau de variation de f.
b. En déduire le tableau de variation de g.


Voilà! C'est long mais merci à ceux qui essaieront :we:

[Elsa_toup]

Qu'as-tu fait pour le moment ?
(attention, si tu réponds "rien", j'entame une dépression nerveuse....)

[Sheikiz]

Et bien tu devrais commencer à prendre des anti dépresseurs :we:
Non, plus sérieusement, je comprends vraiment rien.. mais je doute pas qu'avec un peu d'aide ca ira tt seul :happy2:

[Elsa_toup]

Alors on est partis !

1). A quoi correspond le nombre dérivé en un point d'une courbe ?

[Sheikiz]

Alors on est partis !

1). A quoi correspond le nombre dérivé en un point d'une courbe ?

Eamn... c'est qqchose avec une limite ? du genre (ce qui est écrit ds mon cours): f(a+h) - f(a) / h quand h tend vers 0
et c'est écrit que si cette limite existe, on la note f'(a) et on l'appelle nombre dérivé en a.

A part ca, j'en sais pas plus..

Rain': pour le b, ca marche si je mets: y= f'(1)(x-1)+f(1) ?

[Elsa_toup]

Alors oui c'est une limite, c'est exact.
Mais j'entendais graphiquement.

Je te donne cette réponse pour qu'on avance un peu: le nombre dérivé d'une fonction en un point, c'est sa pente (= son coefficient directeur).

Donc, en x=1, x=2 et x=3, quelles sont les pentes respectives de la courbe ?

[Sheikiz]

Elsa_toup: je vois comment on calcule le coeff directeur mais avec ces droites ca m'embrouille.. tu peux me donner la méthode exacte stp pour le 1er et je ferai les suivants moi-même.

Rain':ca rejoint ce que dit Elsa_toup, le a c'est bien le coeff directeur de la tangente à la courbe ?

[Elsa_toup]

Ce n'est pas très théorique ce que je vais te dire, mais plutôt pratique.

En x=1, la tangente à la courbe serait horizontale; cela revient à dire que la pente est nulle.
Donc f '(1) = 0.

De même en x = 3.
Donc f '(3) = 0.

En x = 2, on nous donne l'équation de la tangente en ce point.
La tangente est la droite de même pente que la courbe en un point.
Donc la pente de f en P est le coefficient directeur de delta.
Donc on lit sur le graphe : f '(2) = -3/2.

[Sheikiz]

Oui bravo, la méthode général pour trouver un coefficient directeur, tu prends deux points f(y) et f(x) sur une droite et tu calcules le rapport (f(y)-f(x)) / (y-x).

Sinon tu peux le déterminer visuellement, par exemple si tu augmente de 2 en ordonnée quand tu augmentes de 1 en abcisse alors ton coef vaut 2.

STP tu peux me donner l'exemple pour le 1er ? n_n

[Elsa_toup]

Tu as la réponse sous les yeux (c'est pas très malin de ma part d'ailleurs... :hum: ).

[Sheikiz]

Tu as la réponse sous les yeux (c'est pas très malin de ma part d'ailleurs... :hum: ).

ah excuse moi il y avait un bug et ta réponse n'aparaissait pas.. merci!

[Sheikiz]

Ce n'est pas très théorique ce que je vais te dire, mais plutôt pratique.

En x=1, la tangente à la courbe serait horizontale; cela revient à dire que la pente est nulle.
Donc f '(1) = 0.

De même en x = 3.
Donc f '(3) = 0.

En x = 2, on nous donne l'équation de la tangente en ce point.
La tangente est la droite de même pente que la courbe en un point.
Donc la pente de f en P est le coefficient directeur de delta.
Donc on lit sur le graphe : f '(2) = -3/2.

Merci j'ai tout compris ! :we:

Passons à la question 2 ..

[Elsa_toup]

Ouh là, pas si vite! Et la 1b alors ? (c'est p-e celle-là que tu appelles la quetsion 2)
Avec les indications de Rain, as-tu trouvé une équation de delta ?

rappel : une droite affine est caractérisée par son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

[Sheikiz]

Ouh là, pas si vite! Et la 1b alors ? (c'est p-e celle-là que tu appelles la quetsion 2)
Avec les indications de Rain, as-tu trouvé une équation de delta ?

rappel : une droite affine est caractérisée par son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

Puisque l'équation d'une tangente c'est: y=f'(a)(x-a)+f(a)
ou y=f'(a)x+(f(x)-af'(a))

donc ca suffit pas si je mets y=f'(1)(x-1)+f(1) ?

[Elsa_toup]

Ben tu peux être plus précis que ça....
Tu connais f(1) et f '(1) ...

[Sheikiz]

ah ben oui... n_n

donc ca fait: f'(1)(x-1)+f(1) = 0(x-1)+4

euh j'suis pas tres sure de ce que j'ai fait ..

[Elsa_toup]

Oui, mais surtout on te demande l'équation de delta, donc en x = 2 !
ca change tout...

[Sheikiz]

Oui, mais surtout on te demande l'équation de delta, donc en x = 2 !
ca change tout...

ok ok ... donc là je comprends plus rien xD ralala quel niveau j'ai !

[Sheikiz]

bah c'est la même chose en x=2 , tu connais f'(2) et tu peux lire f(2) qu'est ce qui ne vas pas ?

mais pourquoi je dois faire en x=2 en fait ?

[Elsa_toup]

On cherche l'équation de delta qui est la tangente en x=2 (en P précisément), donc son équation est donnée par f '(2)*(x-2) + f(2).

A toi !