Fonctions continuité terminale

[maths777]

bonjour, j'aimerai de l'aide pour cet exercice, voici son énoncé:
Soit f et g deux fonctions numériques continues sur [a,b] tel que :
pour tout x de [a,b] 0<g(x)< f(x)
Montrer que( ∃c>0 ) (pour tout x de [a,b]) (1+c)g(x)< ou = f(x)

alors voilà ce que j'ai fait.
j'ai posé une fonction h(x)= f(x) / g(x).
cette fonction est continue sur [a,b] donc elle bornée sur [a,b] et atteint ses bornes.
càd ∃(x0;x1) ∈ [a,b] tel que : h(x0)=m
et h(x1)= M
donc h(x0)<h(x)<h(x1)
d'où : f(x)/g(x) > h(x0)
il suffit de poser h(x0)=1+c pour avoir f(x)/g(x)> 1+c
et donc f(x)>(1+c) *g(x)

je sens qu'il y a bien qlq chose qui ne va pas dans ce raisonnement, j'attends donc vos réponses pour m'aider.

[pascal16]

C'est une bonne méthode

h(x)= f(x) / g(x), cette fonction est continue sur [a,b] -> il faut justifier la continuité.

f(x)/g(x) > h(x0)
il suffit de poser h(x0)=1+c pour avoir f(x)/g(x)> 1+c -> il faut justifier que h(x0)>1

[maths777]

on sait que f est continue sur [a,b]
et g est continue sur [a,b] et strictement supérieure à 0 donc
donc f/g est continue sur [a,b].

pour h(x0)>1:
on sait que f(x)>g(x) donc f(x)/g(x) >1 càd h(x) >1 pour tout x de [a,b] donc h(x0)>1.

[pascal16]

Là ça commence à être une démonstration blindée.

[maths777]

je vous remercie beaucoup pour votre aide