Fonctions et continuité

[lol37]

Salut,
voici un problème assez sympa : Existe t'il une fonction f strictement croissante définie dans admettant une infinité de zéro ?
merci à ceux qui voudront répondre.

[sylvain.s]

Salut,
voici un problème assez sympa : Existe t'il une fonction f strictement croissante définie dans admettant une infinité de zéro ?
merci à ceux qui voudront répondre.

Je dirais que la fonction puissance 10 pourrait faire l'affaire, f(x)= 10^x

Sa limite en + infini, c'est un 10 avec une infinité de 0 derrière

Mais je sais pas si j'ai bien compris la question^^

[lol37]

Je dirais que la fonction puissance 10 pourrait faire l'affaire, f(x)= 10^x

Sa limite en + infini, c'est un 10 avec une infinité de 0 derrière

Mais je sais pas si j'ai bien compris la question^^

je veut dire une infinité de réels x tel que f(x) = 0

[Clu]

Je dis non.

Dès lors que la fonction a dépassé 0 strictement elle ne peut plus y revenir.
Donc le seul moyen d'avoir une infinité de 0 serait qu'elle s'annule sur tout un intervalle non réduit à un point. Mais cela est impossible par définition de "strictement croissante"

[lol37]

Je dis non.

Dès lors que la fonction a dépassé 0 strictement elle ne peut plus y revenir.
Donc le seul moyen d'avoir une infinité de 0 serait qu'elle s'annule sur tout un intervalle non réduit à un point. Mais cela est impossible par définition de "strictement croissante"

C'est quoi ta définition de fonction strictement croissante ?

[Archytas]

Salut, il y a un théorème qui s'appelle le théorème de la bijection qui peut répondre à ta question ! Il dit que si une fonction est strictement monotone elle est bijective (ou injective selon l'intervalle d'arrivée) mais l'injectivité suffit à répondre que non. La définition de strictement croissante peut se résumer ainsi il me semble pour une fonction définie sur I au pire fait un dessin.
Bref, une fonction strictement croissante et continue à un maximum un zéro !

[lol37]

Salut, il y a un théorème qui s'appelle le théorème de la bijection qui peut répondre à ta question ! Il dit que si une fonction est strictement monotone elle est bijective (ou injective selon l'intervalle d'arrivée) mais l'injectivité suffit à répondre que non. La définition de strictement croissante peut se résumer ainsi il me semble pour une fonction définie sur I au pire fait un dessin.
Bref, une fonction strictement croissante et continue à un maximum un zéro !

justement ici la fonction ( si elle existe ) n'est pas nécessairement continue.
un exemple de tel fonction est mais est t'elle pour autant strictement croissante ? sa dérivée vaut 1, et est donc strictement positive mais pourtant on a pas
d'où ma question, qu'est ce qu'une fonction croissante ? peut t'on la définir ssi elle est continue ?
son graphe graphe

[Archytas]

justement ici la fonction ( si elle existe ) n'est pas nécessairement continue.
un exemple de tel fonction est mais est t'elle pour autant strictement croissante ? sa dérivée vaut 1, et est donc strictement positive mais pourtant on a pas
d'où ma question, qu'est ce qu'une fonction croissante ? peut t'on la définir ssi elle est continue ?
son graphe graphe

C'est bien la définition de la croissance d'une fonction. Ta fonction n'est pas croissante. Le fait que la dérivée soit strictement positive est une condition loin d'être suffisante pour conclure. Par la suite fais très attention quand tu dérives. Il est interdit de dériver une fonction avant de savoir si elle est dérivable. La fonction partie entière n'est pas continue pour les entiers donc elle n'est pas dérivable. Dire est complétement faux parce que ça voudrait dire ce que tu l'admettra est faux. En revanche la fonction est dérivable par "blocs" dire est correct car alors E(x) est continue et dérivable sur ]n,n+1] donc ça a un sens.
J'espère que tu as saisis.
En tout cas souviens toi on ne dérive jamais une fonction sans savoir si elle est dérivable sinon on va dans le mur :lol3: .

[lol37]

C'est bien la définition de la croissance d'une fonction. Ta fonction n'est pas croissante. Le fait que la dérivée soit strictement positive est une condition loin d'être suffisante pour conclure. Par la suite fais très attention quand tu dérives. Il est interdit de dériver une fonction avant de savoir si elle est dérivable. La fonction partie entière n'est pas continue pour les entiers donc elle n'est pas dérivable. Dire est complétement faux parce que ça voudrait dire ce que tu l'admettra est faux. En revanche la fonction est dérivable par "blocs" dire est correct car alors E(x) est continue et dérivable sur ]n,n+1] donc ça a un sens.
J'espère que tu as saisis.
En tout cas souviens toi on ne dérive jamais une fonction sans savoir si elle est dérivable sinon on va dans le mur :lol3: .

Ok c'est ce que je voulais savoir.
merci, donc la réponse est non.

[Archytas]

Ok c'est ce que je voulais savoir.
merci, donc la réponse est non.

C'est ça, une fonction strictement croissante ne s'annule qu'une fois au plus !

[Nightmare]

Il dit que si une fonction est strictement monotone elle est bijective

Attention ceci est faux, une fonction strictement monotone est injective mais n'a aucune raison d'être surjective.

[Archytas]

(ou injective selon l'intervalle d'arrivée)

Merci de lire jusqu'au bout.

[Nightmare]

Ben ça n'a pas plus de sens.

Si tu restreins l'intervalle d'arrivée à l'image de la fonction, elle sera évidemment surjective mais ceci est vrai qu'elle soit strictement monotone ou non.

Dans tous les cas, ce dont tu parles n'est pas le "théorème de la bijection" que tu mentionnes puisqu'une des hypothèses de ce théorème est justement la continuité, hypothèse qui ne figure pas dans ton post.

[Archytas]

Ben ça n'a pas plus de sens.

Si tu restreins l'intervalle d'arrivée à l'image de la fonction, elle sera évidemment surjective mais ceci est vrai qu'elle soit strictement monotone ou non.

Dans tous les cas, ce dont tu parles n'est pas le "théorème de la bijection" que tu mentionnes puisqu'une des hypothèses de ce théorème est justement la continuité, hypothèse qui ne figure pas dans ton post.

Oui si on restreint l'intervalle d'arrivée elle est surjective et injective + surjective = bijective :king2: . Merci de lire les phrases jusqu'au bout.

si une fonction est strictement monotone elle est bijective (ou injective selon l'intervalle d'arrivée) mais l'injectivité suffit à répondre que non

Désolé oui j'ai omis la continuité cela dit je clos le message sur ça. Enfin c'est vrai qu'il le manque à la définition mais je pensais qu'on parlait de fonctions continues au départ donc ça ne me semblait pas nécessaire de la répéter.

[Nightmare]

Oui si on restreint l'intervalle d'arrivée elle est surjective et injective + surjective = bijective :king2: . Merci de lire les phrases jusqu'au bout.

Soit tu fais semblant de ne pas comprendre, soit tu as un problème de compréhension.

En gros, tu as dit "Voila un théorème, le théorème dit Machin ou éventuellement Truc".

Sauf que d'une part le théorème ne dit pas Machin, et d'autre part Truc est toujours vrai.

Du coup on se demandait ce que dit réellement le théorème.

Bref, on ne va pas polémiquer 3 heures, je t'invitais juste à faire attention quand tu énonces un théorème à ne pas dire de trucs qui sont faux et/ou inutiles.

Et pour finir, tu n'es pas obligé de prendre la mouche, accepter la critique serait un bon pas en avant pour certains de ce forum.