Fonctions continues

[amed61]

exo1
et deux fcts définies et continues de vers , telles que pour tout de on a :
montrer qu'il existe au moins un nombre c de tel que:

Exo2
une fct continue de vers et telle que
pour tout entier naturel non nul n on pose:
Montrer que pour tout n l'équation admet une solution dans l’intervalle

[chombier]

exo1
f et g deux fcts définies et continues de [0,1] vers [0,1], telles que pour tout x de [0,1]on a : fog(x)=gof(x)
montrer qu'il existe au moins un nombre c de [0,1] tel que: f(c) = g(c)

Exo2
f une fct continue de [0,1] vers [0,1]
pour tout entier naturel non nul n on pose: gn(x) = f(x+1/n)-f(x)
Montrer que pour tout n l'équation gn(x)=0 admet une solution dans l’intervalle [0,1-1/n]

Ça sens fort le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire.

[amed61]

Ça sens fort le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaire.

Oui pour ce là j'ai considéré la fct h(x) = f(x) - g(x) pour l'exo1 mais j'arrive pas à trouver a et b tels que h(a)*h(b) <0

[tototo]

exo1
f et g deux fcts définies et continues de [0,1] vers [0,1], telles que pour tout x de [0,1]on a : fog(x)=gof(x)
montrer qu'il existe au moins un nombre c de [0,1] tel que: f(c) = g(c)

Exo2
f une fct continue de [0,1] vers [0,1]
pour tout entier naturel non nul n on pose: gn(x) = f(x+1/n)-f(x)
Montrer que pour tout n l'équation gn(x)=0 admet une solution dans l’intervalle [0,1-1/n]

Bonjour

montrons que gn(0)*gn(1-1/n)<0 et que gn(x) est monotone (croissante si f l'est decroissante selon f)

[chan79]

salut
f étant continue, il existe un a de [0;1] tel que f(a)=a
ensuite essaie par l'absurde:
S'il n'avait pas de c tel que f(c)=g(c), comme f-g est continue, on aurait toujours:
f(x)g(x)
on peut supposer f(x)<g(x)

ensuite
est invariant par
on pose

est invariant par f
on pose
etc
Etudie la suite

[chan79]

[B]Exo2
f une fct continue de [0,1] vers [0,1]
pour tout entier naturel non nul n on pose: gn(x) = f(x+1/n)-f(x)
Montrer que pour tout n l'équation gn(x)=0 admet une solution dans l’intervalle [0,1-1/n]

salut
si on prend

ne s'annulle jamais

[keofran]

Sympa la méthode, j'ai réfléchi un moment sans trouver.

[amed61]

salut
f étant continue, il existe un a de [0;1] tel que f(a)=a
ensuite essaie par l'absurde:
S'il n'avait pas de c tel que f(c)=g(c), comme f-g est continue, on aurait toujours:
f(x)g(x)
on peut supposer f(x)<g(x)

ensuite
est invariant par
on pose

est invariant par f
on pose
etc
Etudie la suite

la suite est croissate et majorée donc elle a une limite l
Et l est invariante par f et g

[chan79]

la suite est croissate et majorée donc elle a une limite l
Et l est invariante par f et g

oui, et on avait supposé qu'il n'y avait pas de c tel que f(c)=g(c)
or f(l)=g(l)=l

[amed61]

la suite est croissate et majorée donc elle a une limite l
Et l est invariante par f et g

Je me suis inspiré pour l'exo 2
Je procède par absurde, je suppose que gn ne s'annule jamais sur l'intervale [0,1-1/n]
Donc elle est soit strict positive soit strict négative (je suppose <0)
Ansi je vais avoir:


.......


en additionnant on obtient ce qui est absurde

[chan79]

[B]Exo2
une fct continue de vers
pour tout entier naturel non nul n on pose:
Montrer que pour tout n l'équation admet une solution dans l’intervalle

Salut
problème d'énoncé, je pense
avec f(x)=x, qui ne s'annulle pas

[chan79]

Exo2
une fct continue de vers
pour tout entier naturel non nul n on pose:
Montrer que pour tout n l'équation admet une solution dans l’intervalle

attention, ça doit être

car sinon, avec f(x)=x c'est visiblement faux

[amed61]

attention, ça doit être

car sinon, avec f(x)=x c'est visiblement faux

Ah! oui j'ai oublié une condition dans l'énoncé qui est:

[besttrainer]

salut ! je n'arrive pas à résoudre le premier exo et j'ai vu que vous avez parlé de créer une suite
est ce que vous pouvez m’éclaircir ce point en détailles :we: ??