Fonctions - DM (2nde)

[Pauuline]

Bonjour à tous,
Vous allez bien ? Par ce temps de neige ...
Je viens obtenir de l'aide pour mon DM car y a certaines questions auxquelles je n'arrive pas à répondre.

Exercice :

On veut clôturer une partie d'un champ pour faire un potager rectangulaire. On dispose pour cela de 100 m de grillage qui seront entièrement utilisés et on souhaite obtenir l'aire du potager la plus grande possible.

1. Introduction : soit x et y les dimensions en mètres de deux côtés consécutifs du potager
a) Combien vaut le périmètre du potager en fonction de x et y ?
[FONT=Century Gothic]J'ai trouvé 2y + 2x.[/FONT]
b) En déduire y en fonction de x.
[FONT=Century Gothic]J'ai trouvé 100 - 2x / 2 = y[/FONT]

2. Soit x l'une des dimensions, en mètres, du potager
a) Démontrer que si x égal 15 alors le potager a une aire de 525 m²[FONT=Century Gothic]J'ai trouvé les calculs et j'ai bien trouvé une aire de 525 m²[/FONT]
b) Quelles sont les valeurs possibles du nombre x ?
[FONT=Century Gothic]Je n'ai pas trouvé et pas compris par la même occasion ...[/FONT]
c) De façon générale, démontrer que l'aire en m² du potager est égale à - x² + 50x
[FONT=Century Gothic]Je n'ai pas trouvé non plus ...[/FONT]

Soit S la fonction définie par S(x) = -x² + 50x

3. Compléter le tableau suivant :


[FONT=Century Gothic]( Je l'ai complété )[/FONT]

4. Tracer la représentation graphique de S sur [0 ; 50] dans un repère d'unités 1cm pour 5m en abscisse et 1cm pour 50 m² en ordonnées.
[FONT=Century Gothic]Je l'ai fait mais quand je relis j'ai un doute parce que les points ayant x = 20 et x = 30 sont sur la même ligne mais est-ce que je doit les relier directement ou est-ce que je dois arrondir au-dessus pour faire un arc de cercle ? Est-ce que je dois la tracer en fonction de celle obtenue sur la calculatrice ?[/FONT]

5. Quel semble être le maximum de cette fonction sur [0 ; 50] ? Pour quelle valeur de x est-il obtenu ?
[FONT=Century Gothic]Du coup pour cette question je ne sais pas quoi mettre vue que je ne sais pas si je dois faire un arrondi entre 20 et 30 ; est-ce que je dois faire en fonction de la courbe obtenue sur la calculatrice ? Ou celle que je fais ?[/FONT]

6. On veut obtenir les réponses à la question précédente par le calcul :
a) Ecrire x² - 50x + 625 sous forme d'une identité remarquable.
[FONT=Century Gothic]J'ai trouvé : (x-25)²[/FONT]
b) Démontrer que S(x) - 625 peut s'écrire sous la forme : - (a-b)² ou a et b sont deux réels à déterminer.
[FONT=Century Gothic]J'ai fait.[/FONT]
c) En déduire que pour tout réel x : S(x) < ou = 625
L'égalité est-elle possible ? Pour quelle valeur de x ? Que pouvez-vous en conclure ?
[FONT=Century Gothic]Je n'ai pas trouvé ... Mais je pense que le 625 étant le maximum obtenu grâce au graphique donc la fonction ne peut pas être plus grande que 625 ; mais comment le déduire ?[/FONT]

7. Déduire de la question 6, les dimensions (longueur et largeur) que doit avoir le potager pour que son aire soit maximale.
[FONT=Century Gothic]Je n'ai pas trouvé non plus[/FONT]


Merci d'avance & Bonne journée !

[delphine85]

Bonjour,

Ok pour la première question.
Pour la 2), comme tu es censée utiliser les 100m de grillage, ton périmètre doit être égal à 100....

Dis moi si du coup tu bloques pour la suite....

[Pauuline]

Oui c'est à partir de là que je bloque car comment on fait pour obtenir l'aire à partir du périmètre ?
Vue que x n'est qu'une longueur du potager ; il en reste 3 qui sont inconnues ...


& Pour la première question ; le petit b) c'est bien y = 2x/2 ?

[delphine85]

Excuse moi, ce que je t'ai dis c'était pour la question 1 b)
tu as bien Périmètre=2y+2x

mais tu sais que le périmètre vaut 100 (la longeur du grillage!)

pour ta question, x est bien une longueur, et y une largeur, mais n'oublie pas qu'on est dans un rectangle !!!

[Pauuline]

C'était pas plutot pour la question 1a ? ^^
Car le périmètre : 2x + 2y c'est en fonction de x et y
Par contre pour mettre y en fonction de x je ne crois pas que ce que j'ai fait soit bon : y = 2x / 2

Donc d'après ce que tu me dis je devrais marquer : 2x + 2y = 100 ?
& Pour chercher y je fais l'équation ?
( Je crois que je m'égare là ... )


Oui donc dans un rectangle les côtés opposés sont 2 à 2 de même longueur donc on a 2x & 2y

[delphine85]

1 a) périmètre =2y+2x
1 b)100=2y+2x, tu transformes pour avoir y=......

2) Exprime l'aire en fonction de x et y. tu remplaceras y par ce que tu as trouvé à la question 1 b) et ensuite tu calculeras avec x=15.

je dois partir, je reviens en début d'après midi. je continuerais à t'aider.
mais avec ça tu devrais déjà pas mal avancé normalement

[Pauuline]

Donc pour 1)b) on obtient : 100-2x / 2 = y
Peut-on réduire 100 - 2x / 2 ?

Du coup j'ai confirmation de ce que j'avais trouvé à la question 2)a) !


Pour la question 2)b) ; il faut trouver les valeurs possibles de x .
Mais il faut que y ne dépasse pas un certain nombre non plus ... C'est complexe ce genre de chose avec 2 inconnus sachant que l'on ne connait pas de nombre pouvant remplacer x ou y ...

OK je vais essayer la suite avec ce que tu as su m'expliquer mais c'est très gentil de ta part ; Bon appétit !

[Pauuline]

J'ai modifié dans l'énoncé les réponses que j'ai trouvé ;
Je me suis rendue compte aussi que le 625 dans la question 6) représente le maximum mais bon je n'arrive pas pour autant à répondre à la question ...
Mieux vaut faire progressivement ...

[delphine85]

de retour !

attention, tu ne dois pas écrire : 100-2x / 2 = y
mais plutot (100-2x) / 2 = y
D'où le fait que tu puisses réduire! ça te donne y=50-x.

Du coup quand tu cherches les valeurs que peuvent prendre x, tu trouves que forcément x>0 mais il ne peut pas etre plus grand que 50.

pour la question 2 c), il faut utiliser la formule de l'aire d'un rectangle. et remplacer le y dans l'équation!

[Pauuline]

D'accord ; je me suis trompée dans l'écriture sur le forum mais pas sur ma feuille & donc je réduis à 50-x.

Donc pour la 2b) la réponse est : Tous les chiffres strictement en dessous de 50 c'est ça ?

" Du coup quand tu cherches les valeurs que peuvent prendre x, tu trouves que forcément x>0 mais il ne peut pas etre plus grand que 50. "
Comment je rédige ? Je marque :

x doit être supérieur à 0 mais ne doit pas dépasser 50 sinon on obtiendrait un nombre négatif. Tous les nombres compris entre 0 et 50 (compris ou exclus ?) sont des valeurs possibles du nombre x

Je ne pense pas que ce soit ça car on ne prend pas des données prises dans d'autres questions ; je ne sais pas trop comment expliquer cela.


Pour la 2c) l'aire d'un rectangle vaut donc x * y ; mais je remplace y par quoi ?
Vu que ce qu'on a dit dans la question 1 c'est pour le périmètre ; je n'ai pas de donnée pour l'aire ...

Merci beaucoup de ta patience & de ton aide même si j'ai parfois des problèmes de compréhension ; mais je préfère comprendre donc je pose beaucoup de questions !

[delphine85]

pour 2 b), x appartient à ]0,50[ les deux exclus, car 1) x ne peut pas être égal à 0 sinon il n'y a pas de champs!, 2) x ne peut pas être égal à 50 car si x=50 alors y=0 et même réfléctions qu'au dessous!

2) A=x*y, en effet, et en plus tu as marqué avant que y=50-x, donc tu remplaces le y par ça et tu as l'aire en fonction de x. c'est ok?


pas de soucis pour les questions !

[Pauuline]

Ah oui d'accord ; là je vois !
Il fallait remplacer par la valeur y obtenue dans la 1ere question ...


Ensuite je passe directement à la 6c)
625 est donc le maximum de la courbe donc l'image de x ne peut pas dépasser 625 mais comment je fais pour le déduire ? J'écris quoi exactement ?

Merci beaucoup !

[delphine85]

6 b) tu as montré que S(x) - 625 =- (a-b)²
j'ai pas calculé a et b mais c'est pas grave, on en a pas besoin pour la question suivante!

c) En déduire que pour tout réel x : S(x) < ou = 625

tu sais que (a-b)² est toujours positif donc -(a-b)² est toujours négatif.
d'où: S(x)-625<(ou égal, je sais pas comme j'ai sauté quelques questions!) 0

donc S(x)<(ou égal) 625

S(x)=(x-25)²

L'égalité est-elle possible ?
625=(x-25)²
x-25=RACINE(625)
x-25=25
x=0

Comme on a dit que ne pouvait pas prendre la valeur 0, S(x) ne peux pas prendre la valeur de 625.

Par contre je vais couper le pc, donc si tu as d'autres questions il faudra que ça attende demain!
bonne soirée

[Pauuline]

Bonsoir ;
Désolée du retard de la réponse mais je n'ai pas eu le temps de venir sur ordinateur ...
Entre temps en cours nous avons fait un exercice du même type que le DM & ma prof m'a expliqué certains points donc tout est OK.
Je n'ai plus qu'à le recopier !
Mais merci beaucoup pour votre aide car elle m'a été d'un grand secours !
MerciMerci
Bonne soirée,
Bisous