Fonction trinôme

[Feel_good]

Bonjour,

Je bloque totalement sur la première question d'un exercice.

1) Déterminer l'expression de la fonction trinôme f avec les conditions suivantes :
- le point A (1;-2) sur la courbe C de f
- f admet un minimum de -3 en 2

J'aimerais avoir un peu d'aide par rapport à ça
Merci d'avance !

[Euler07]

ax²+bx+c qui est f(x)

[Euler07]

Ou même y=ax²+bx+c

[Jimm15]

Bonsoir,

Je te propose une piste :

est une fonction trinôme donc elle s’écrit sous la forme .
On cherche donc à déterminer les coefficients , et .

Les deux conditions que l’on te donne te permettent d’établir trois équations. Lesquelles ?

[Feel_good]

J'ai trouvé deux équations seulement qui sont a+b+c=-2 & 4a+2b+c=-3

[Jimm15]

J'ai trouvé deux équations seulement qui sont a+b+c=-2 & 4a+2b+c=-3

C’est juste.

Qu’est-ce que ça représente, pour la tangente d’une fonction en , que admette un minimum en ?

[Feel_good]

Cela veut dire qu'il n'y pas de valeur qui vont en dessous de -3

[Jimm15]

Oui mais pour la tangente à la courbe ? Quel est son coefficient directeur ?

[Feel_good]

C'est -3 non ? ^^

[Jimm15]

c’est .

Puisque admet un minimum en ça veut dire qu’elle change de variation en ce point. (En occurrence, elle passe de décroissante à croissante.) On en déduit que la tangente à la courbe en ce point est...

[Feel_good]

En fait la tangente et la courbe se touchent en ce point non ?
Désolé si je ne sais pas trop répondre mais j'ai pas encore trop appronfondi ce point de cours :/

[Jimm15]

En fait la tangente et la courbe se touchent en ce point non ?
Désolé si je ne sais pas trop répondre mais j'ai pas encore trop appronfondi ce point de cours :/

Oui, c’est exactement la définition de la tangente.

Un exemple : La fonction suivante admet un minimum au point . Elle change donc de variation en ce point : elle était décroissante, elle devient croissante. * Cela signifie que la tangente à la courbe de en ce point (si on ne connaît pas l’ordonnée, on dit : « en ») a un coefficient directeur nul donc qu’elle est horizontale (parallèle à l’axe des abscisses). On l’observe très aisément sur la figure.

(clique sur l’image pour l’agrandir)

* Pour un maximum, c’est l’inverse. Une fonction croissante devient décroissante.

[Jimm15]

Remarque : On différencie extremums locaux et extremums globaux d’une fonction. C’est assez simple. Un extremum local est un minimum ou un maximum atteint par la fonction sur un intervalle défini. La fonction atteint donc un ou plusieurs autre(s) minimum(s) et/ou maximum(s) ailleurs sur son ensemble de définition. Au contraire, quand on parle d’extremum global, cela signifie qu’il s’agit d’un maximum ou d’un minimum atteint par la fonction sur tout son ensemble de définition. Il n’est jamais dépassé ailleurs.

Dans l’exemple que je te présentais, il s’agissait donc d’un minimum global, car on voit bien que ne descendra plus aussi bas ailleurs ; en effet, c’est une parabole tournée vers le haut.

[Feel_good]

Merci pour ta réponse :)
Mais il me semble pas avoir encore abordé cela en cours du coup je ne sais pas trop si je devrais le réutiliser dans mon DM :/

[Jimm15]

Bonjour,

Pour mon message de 00h30, c’était juste une remarque pour toi. Si tu ne l’as pas encore vu, tu le verras peut-être plus tard mais si tu ne le vois pas tu t’en rappelleras peut-être un jour et ça te sera utile.

Bref, si on te parle d’un minimum d’un point, tu as bien dû voir qu’il y avait une tangente horizontale en ce point non ?

[Feel_good]

Non je n'ai pas encore vu ça... :S
Alors pour résoudre mon exercice je pensais faire un système avec a+b+c=-2, 4a+2b+c=-3 & b=-4a seulement lorsque je le ramène à deux inconnues cela me donne -3a-b=1 & b=-4a et je ne trouve pas les bonnes valeurs pour a,b,c...
Pour trouver les bonnes valeurs il faudrait que le système soit -3a+b=1 & b=-4a...

[Jimm15]

Non je n'ai pas encore vu ça... :S
Alors pour résoudre mon exercice je pensais faire un système avec a+b+c=-2, 4a+2b+c=-3 & b=-4a seulement lorsque je le ramène à deux inconnues cela me donne -3a-b=1 & b=-4a et je ne trouve pas les bonnes valeurs pour a,b,c...
Pour trouver les bonnes valeurs il faudrait que le système soit -3a+b=1 & b=-4a...

Deux équations ne suffisent pas pour trouver 3 inconnues.

Tant pis, même si tu ne l’as pas vu, tu diras qu’au point d’abscisse , la tangente à la courbe est horizontale, donc son coefficient directeur vaut et donc le nombre dérivé .
Tu calcules et tu en déduis une troisième équation.

ÉDIT : Je ne comprends pas comment tu trouves .

[Feel_good]

Comment fait-on pour calculer f'(x) ?

J'ai trouvé b=-4a en faisant -b/2a=2 donc -b=4a et b=-4a ;)

[Jimm15]

Oublie ce que je t’ai dit sur la tangente.
J’avais oublié qu’on pouvait déterminer l’abscisse du sommet de la parabole avec les coefficients.

Donc tu as le système d’équations suivant à résoudre :



Je l’ai fait et je trouve les bons coefficients.

[Feel_good]

Je me retrouve avec ce problème :

- J'ai calculé c en fonction de 4a+2b+c=-3 ce qui me donne c=-3-4a-2b
- Je transpose ça dans a+b+c=-2 ce qui me donne a+b-3-4a-2b=-2 donc -3a-b=1
Et si je trouve ça tout est faux puisque pour éliminer les b j'ajoute -3a-b=1 et b=-4a et cela me donne a=-1/7

Quelle est mon erreur ?