Fonction Trigo & Suite

[Evan]

Bonjour à tous et à tous,

Je travaille actuellement sur des vieilles annales d'un concours où il y a une épreuve de Math niveau Bac. Et ces vieilles annales sont beaucoup plus dures que tous les exercices sur lesquels j'ai travaillés.

Le sujet de ce problème est en pièce jointe ci dessous.

Fonction Trigo Suite

Probleme Math.png (86.53 Kio) Vu 304 fois

PB math 2

Probleme math 2.png (45.97 Kio) Vu 301 fois

Je bloque tout d'abord sur la question 2) b) : exprimer U(n) en fonction de (n)
J'ai trouvé que:
U(2n) = 1 - n
U(2n+1) = 1 + n

Et sur la question B)1)b :
Démontrer que pour tout n entier naturel, et pour tout x de ]n ; n+1[ g_n_(x) = g_0_(x-n) + 2n
J'ai essayé un raisonnement par récurrence mais je n'arrive par à exprimer g_n+1_(x) en fonction de g_n_(x) pour utiliser l'hypothèse de l'hérédité du raisonnement par récurrence...

En vous remerciant d'avance pour vos éclaircissements !

[infernaleur]

Salut, je vois pas le lien du sujet moi .

[Evan]

Je viens de le mettre, j'ai eu quelques soucis car mon image était trop grande !

[infernaleur]

Salut je ne suis pas d'accord pour ton Vn=1-n tu peux expliquer comment tu trouves ce résultat ?
(pour Wn je trouves pareil)

[Evan]

Ok merci ) j'avais fait une erreur V(n) = - n plutôt

V(n) = U(2n)
V(n+1) = U(2(n+1)) = U(2n+2)
U(2n+2) = U(2n+2-1) + (2n+2)(-1)^(2n+3)
d'où V(n+1)= U(2n+1) - 2n - 2 [A]
or U(2n+1) = U(2n) + (2n + 1)(-1)^(2n+2)
U(2(n+1)) = U(2n) + 2n + 1 [B]

[A] devient V(n+1)= U(2n) + 2n + 1 - 2n - 2
V(n+1)= U(2n) - 1
V(n+1)= V(n) - 1
V(0) = 0
V(n) = 0 - n
V(n) = - n

[infernaleur]

Oui voilà,
pour la partie B)1)b) montre déjà que pour tout n entier naturel ,

[Evan]

Ok donc à priori c'est bon. Il ne fallait pas raisonner par récurrence.

g(x-n) = 2(x-n) + 1 - (2/Pi) (cotan(Pi(x-n))
g(x-n) = 2(x-n) + 1 - (2/Pi) (cotan(Pi(x))
g(x) = g(x-n) + 2n

Pour la suite la dérivée de g(x) est g'(x) = (2/ Pi) * [ (Pi/2) sin2(Pi x) + 1] / sin 2(Pi x)
Donc g'(x) > 0 sur ]0;1[ et g strictement croissante sur ]0;1[ à valeur dans ] - infini ; +infini[

Donc g_n'(x)=g'(x-n) > 0 sur ]n;n+1[ et g_n strictement croissante sur ]n;n+1[ à valeur dans ] - infini ; +infini[

g_n continue sur ] n ; n+1 [ à valeur dans ] - infini ; +infini [ et strictement croissante sur ]n ; n+1[ à valeur dans ] - infini ; +infini[ donc g_n réalise une bijection de ] n ; n+1 [ sur ] - infini ; +infini [ et g(x)=0 admet une unique solution sur ]n; n+1[

[infernaleur]

Attend pas si vite ^^
Pour la 1)b) on nous dit de montrer que .
En fait faut juste remarquer que .
D'où l’apparition de et

[infernaleur]

Ok donc à priori c'est bon. Il ne fallait pas raisonner par récurrence.

g(x-n) = 2(x-n) + 1 - (2/Pi) (cotan(Pi(x-n))
g(x-n) = 2(x-n) + 1 - (2/Pi) (cotan(Pi(x))
g(x) = g(x-n) + 2n

Pour la suite la dérivée de g(x) est g'(x) = (2/ Pi) * [ (Pi/2) sin2(Pi x) + 1] / sin 2(Pi x)
Donc g'(x) > 0 sur ]0;1[ et g strictement croissante sur ]0;1[ à valeur dans ] - infini ; +infini[

Donc g_n'(x)=g'(x-n) > 0 sur ]n;n+1[ et g_n strictement croissante sur ]n;n+1[ à valeur dans ] - infini ; +infini[

g_n continue sur ] n ; n+1 [ à valeur dans ] - infini ; +infini [ et strictement croissante sur ]n ; n+1[ à valeur dans ] - infini ; +infini[ donc g_n réalise une bijection de ] n ; n+1 [ sur ] - infini ; +infini [ et g(x)=0 admet une unique solution sur ]n; n+1[

Oui je suis d'accord avec toi pour tout le reste (sauf ce que j'ai mis en rouge tu peux détailler comment tu trouves sa ?)

[Evan]

Oui j'ai fait une erreur en dérivant mal sin (Pi x) et cos (Pi x), Merci )

g(x) = 2x + 1 - (2/Pi) cotan (Pi x)
g(x) = 2x + 1 - (2/Pi) cos (Pi x) / sin (Pi x)
g'(x) = 2 - (2/Pi) (-Pi (sin2 (Pi x) - cos2 (Pi x))/ sin2 (Pi x))
g'(x) = 2 + 2 (sin2 (Pi x) + cos2 (Pi x))/ sin2 (Pi x)
g'(x) = 2 (1+ 1/ sin2(Pi x))
g'(x) = 2 (sin 2(Pi x) + 1)/ sin 2 (Pi x)

[infernaleur]

Ok la je suis d'accord