Fonction/théorème valeur intermédiaire

[nina64]

Bonsoir,
J’espère que vous pourrez m’aider pour cet exercice sur lequel je bloque :hein:

F est la fonction définie sur R par f(x) = x^3 -30x² +112
Il s’agit d’étudier le signe de f(x)
Première méthode :
a) calculer f’(x), nb dérivé de f en x. Etudier son signe.
b) dresser le tableau de variation de f
c) démontrer que l’équation f(x) =0 a 3 solutions
d) avec la calculatrice, donner l’arrondi au 10ème ou la valeur exacte de chaque solution (justifier brièvement)
e) en déduire le signe de f(x) selon les valeurs de la variable x.

Deuxième méthode :
a) calculer f(2), puis déterminer 2 réels b et c tels que pour tout x :
f(x) = (x-2)(x²+ bx+ c)
b) résoudre l’équation f(x) = 0
c) en déduire le signe de f(x)

J’ai commencé la 1ère méthode :
a) f’(x) = 3x²-60x
Je calcule delta et trouve 2 solutions 20 et 0
f’(x) est positive si x appartient à]-l’infini ; 0[U] 20 ; +l’infini [
f’(x) est négative si x appartient à] 0 ; 20 [
Donc f est croissante sur]-l’infini ; 0[U] 20 ; +l’infini [
et f est décroissante sur]0 ; 20 [
b) j’ai fait le tableau avec pour f(0) =112 et f(20) = -3888
et là je bloque je sais que je dois utiliser le théorème de la valeur intermédiaire mais je n’y arrive pas.

2ème méthode :
a) f(2) = 0
mais après je ne comprends pas ce que je dois faire pour trouver les 2 réels.

Merci pour votre aide.
Nina

[uztop]

Bonjour,

alors, ta dérivée et ton tableau de variation sont justes.
Ensuite, tu as trouvé f(0) = 112 > 0 et f(20) = -3888 <0
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, x tel que f(x)=0 se trouve dans l'intervalle ]0;20[. Il faut maintenant raisonner par dichotomie: on va essayer f(10) ; si f(10) >0, la solution se trouve dans ]10;20[, sinon elle se trouve dans l'intervalle ]0;10[. Cela est valable parce que f est strictement décroissante sur l'intervalle [0;20]. Ensuite, tu continues dans le bon intervalle: à chaque étape, tu auras un intervalle deux fois plus petit, tu peut donc avoir la précision que tu veux.

Pour la deuxième méthode, il faut développer f(x) = (x-2)(x²+ bx+ c) et l'identifier avec f(x) = x^3 -30x² +112. C'est à dire que dans les deux formes, il y a autant de termes en x^3, en x², en x et de termes constants.
Cette factorisation (par x-2) est possible parce que f(2) est solution; c'est pour ça qu'on t'a d'abord fait calculer f(2)

[nina64]

merci pour votre réponse

je démontre donc que
f est continue est strictement décroissante sur ]0 ; 20[, elle prend donc une fois et une seule tt valeur comprise entre 112 et -3888, en particulier 0.
et je trouve f(x) = 0 pour x = 2
Mais il me faut démontrer que f(x) = 0 a 3 solutions et je n'arrive pas à trouver les 2 autres.

[uztop]

Pour les deux autres solutions, f(x) est strictement croissante sur ]20; + infini[ et la limite en +infini est +infini. Comme f(20)<0, il y a une solution dans ]20; + infini[ (bon, ça laisse de la marge, il faut chercher une solution plus précise par dichotomie)
Pour la dernière solution, il faut faire pareil dans l'intervalle ]-infini; 0[