Fonction e^x-kx

[Pierre4]

Bonjour,
j'ai une petite étude de fonction à faire mais je sèche sur quelques points pourriez-vous m'aider?
Voici l'énoncé:
Soit k un réel 01)Trouver la dérivé de u
Montrer qu'il existe un réel a tel que e^a=k
2)En déduire le signe de u' et les variations de u.
3)Montrer que quelque soit x, e^x-kx>0

1) la dérivé n'est pas très dure u'(x)=e^x -k
e^a-k=0
e^a=k
a=ln(k)
Alors ensuite c'est là que je bloque je n'arrive pas à trouver le signe ça doit être négatif puis positif mais j'arrive pas à le prouver. :mur:
u est décroissante puis croissante.
3) je pense qu'il faut remplacer x par la valeur de a dans f(x)
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Noemi]

Etudie les cas x > lnk et x < lnk.

[Pierre4]

Bonjour,
merci tout d'abord répondu.
1)Alors pour x>ln(k) et pour xon a e^(x)>k e^x 2)On a donc u' positif sur [ln(k);+infini[ et négatif sur ]-infini;ln(k)]
f est donc décroissante sur ]-infini;ln(k)] et croissante sur [ln(k);+infini[ .
3)Ici je ne sais toujours aps comment fairej'ai cherché longtemps mais aucune de mes démonstrations ne me paraît valable.Pourriez-vous me donner un indice?
Merci encore d'avance

[Noemi]

Question 3, Comment varie f(x) si x varie de ]-infini;ln(k)] et de [ln(k);+infini[ ?

[Pierre4]

f(x) tend vers +infini quand x appartient à ]-infini;ln(k)]
de même f(x) tend vers +infini quand x appartient à [ln(k);+infini[ .

Est-ce que je peux justifier de la manière suivante:
Comme u(x) est d'abord décroissante puis croissante elle admet un minimum local en x=ln(k).Or f(ln(k))=e^(lnk) -k (ln(k)).et comme la fonction ln est croissante on peut dire que e^x -xk>0?
Sinon il faut résonner par inégalité mais je ne vois pas comment....
Merci d'avance pour la suite..

[Noemi]

Le début est juste :
Comme u(x) est d'abord décroissante puis croissante elle admet un minimum local en x=ln(k).Or f(ln(k))=e^(lnk) -k (ln(k))= k - klnk.
Il reste à montrer que f(lnk)> 0

[Pierre4]

Je crois avoir trouvé
Déjà sur [1;e[ vu que 0ln(k)>0 donc f(ln(k))>0 car ln(1)=0 et ln(e)=1sur ]0;1] f(ln(k))=k(1-ln(k)) comme ln(k)<0 sur ]0;1[
-ln(k)>0
C'est donc bien positif quelque soit x.
Pourriez-vous me le confirmer?

[Noemi]

Il faut étudier le signe de k(1-ln(k)) pour k compris entre 0 et e
L'étude de f(k) = 1 - ln(k) sur 0; e doit permettre de vérifier que f(k) >0.

[Pierre4]

On a f(ln(k))=k(1-ln(k))
00 donc le signe dépend de 1-ln(k)

Sur ]0;1[ ln(k)0 sur ]0;1[
1-ln(k) sur ]0;1[ est positif on a donc sur ]0;1[ f(ln(k))>0

Sur [1;e[ ln(k)>0 car ln(x)>0 sur [1;+infini[
or ln(e)=1 sur [1;e[ on a donc 0 ou = 0
comme k>0 sur [1;e[ on a donc bien f(ln(k))>0 sur [1;e[
Conclusion: f(ln(k))>0 ce qui signe que le minimum de f est supérieur à 0 donc f(x)>0.
Cela est-il correct? merci d'avance

[Noemi]

C'est correct.
On peut aussi directement faire l'étude du signe de 1 - lnk sur l'intervalle 0 ; e.

[Pierre4]

Très bien merci beaucoup pour votre aide:).
Je vous souhaite une bonne soirée:).