Fonction TS

[parsy]

Bonjour à tous, je suis en terminale S et je n'arrive pas à résoudre ce problème, pouvez-vous m'aider?


Pour n supérieur ou égal à 1, on définit sur I=[0;1] la fonction f par:

f(x)=-e^-x (1+ x/1!+ x²/2! +...+x^n/n!)

avec n!=1*2*...*(n-1)*n

a) Calculer f'(x)

b) montrer que pour tout x appartenant à I:
0 infèrieure ou égal à f'(x) inférieur ou égal à 1

c) En déduire que f(1) supérieur ou egal à f(o)

d) En utilisant les variations de la fonction g définie sur I par g(x)=f(x)-x/x!, montrer que f(1) inférieur ou égal à f(0)+1/n!



Merci beaucoup de m'aider, je n'y arrive vraiment pas! Si vous pouviez me donner quelques pistes.

Merci

[becirj]

a) f est le produit de deux fonctions donc il faut utiliser la formule de dérivation d'un produit.
est une fonction composée, la dérivée est -exp(-x).
Quand on dérive la somme,les termes ont pour dérivée soit en simplifiant par p
En appliquant tout cela et en mettant exp(-x) en facteur, tu devrais arriver au résultat f'(x)=

[becirj]

mauvaise manoeuvre voici la suite :
b) pas très difficile à partir de la dérivée précédente
c) Il faut utiliser la croissance de f
d) Je pense qu'il y a une erreur dans le texte, ce n"est pas x! mais n!.
On calcule la dérivée de g en utilisant celle de f , le sens de variation de g sur I s'étudie facilement, on en déduit g(1)

[parsy]

J'ai d'autres questions sans réponses, pouvez vous m'aider?

En notant Vn=1+1/1!+1/2!+...+1/n!, en déduire que:

e(1-1/n!) inférieur ou egal à Vn inférieur ou egal à e.

Montrer alors que 0 inférieur ou egal à e-Vn inférieur ou égal à 3/n!


Déterminer n0 tel que, pour tout n supérieur ou égal à n0, e-Vn inférieur ou egal à 10^-4



Merci beaucoup de m'aider.

[parsy]

Aidez moi s'il vous plaît, donnez moi quelques pistes, je vous remercie énormément par avance.


Merci

[parsy]

Aidez moi s'il vous plait.

[becirj]

Désolé de répondre tardivement !
f(0)=1 et f(1)=-
Dans la première partie, on a démontre que f(1)>f(0) et f(1)3 x et il faut utiliser la calculatrice en tatonnant