Ts: Fonction ln

[Anonyme]

Soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par :
f(x) = x.ln ((1+x) / x)²

1. Calculer f'(x) et f''(x). En déduire le signe de f'(x).
2. Etudier les variations de f.
3. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
4. On pose f(0) = 0. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
5. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(Unité graphie: 2cm).

1.
(ln (x²) = 2.ln(x))

Donc:
f(x) = 2x.ln ((1+x) / x)

f'(x) = 2 ln ((1+x) / x) + 2x * ((x - 1 - x) / (1+x)/x)
= 2.ln ((1+x)/x) - 2x² / (1+x)
( = 2 [ ln ((1+x)/x) - x² / (1+x)] )

f''(x) = ... = -2 ((x / (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)²)


Valeurs Interidtes pour f''(x):
1 + x = 0 => x = -1

f''(x)s'annule pour:
-2 ((x / (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)²) = 0
= ...
= (x + 1) (2x²+3) = 0
S={-1.5 ; -1 ; 0}

Df = ]0 ; +oo[
=> Il n'y a pas de solution réelle à l'équation.

(Après, je coince ..
Je dois faire le tableau de signe et de variation de f'(x) à partir de
ce que je viens de trouver, mais je n'y arrive pas. Je crois qu'il y a
un petit problème).

2.
Il faut utiliser la question précédente et le signe de f'(x).
Je pense qu'avec le signe, ça devrait pouvoir se faire.

3.
lim f(x) :
x-> 0

lim 2x = 0+
x-> 0
Composée} lim f(x) = 0 (Croissance comparée)
lim ln ((1+x) /x) = +oo x-> 0
x-> 0



lim f(x) :
x-> +oo

lim 2x = +oo
x-> +oo
Composée} lim f(x) = 2
lim ln ((1+x) /x) = 0 x-> +oo
x-> +oo

Cette limite me dérange. Il a fallu que je le fasse par la calculatrice.
Pour moi, ça devait faire +oo (Croissance comparée), mais la
calculatrice m'assure que non. J'ai pourtant vérifier ce que je lui
avais donner, et ce que j'avais fait, mais rien à faire ...)

4.
f(x) = x.ln ((1+x) / x)²

f(0) = 0

lim (f(0 + h) - f(0)) / h = ... = 0
h-> 0

f(0) = 0

Donc:
lim (f(0 + h) - f(0)) / h = f(0)
h-> 0

Donc f est dérivable en 0

Si f une fonction dérivable en a, alors f est continue en a.
=> f est continue et dérivable en 0.


(Voilà, il y a quelques petites choses qui me chiffone. Je n'arrive pas
à les résoudre ; au passage, il y a un sujet hors de vue sur lequel j'ai
aussi un petit problème: "Etude de fonction" (13 lignes plus haut)).

Merci :).

[Anonyme]

Bonjour,

Dans le message news:41e2fa08$0$19604$636a15ce@news.free.fr,
Alexandre a écrit:
> Soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par :
> f(x) = x.ln ((1+x) / x)²[color=green]
> >
> 1.
> (ln (x²) = 2.ln(x))
>
> Donc:
> f(x) = 2x.ln ((1+x) / x)
>
> f'(x) = 2 ln ((1+x) / x) + 2x * ((x - 1 - x) / (1+x)/x)
> = 2.ln ((1+x)/x) - 2x² / (1+x)
> ( = 2 [ ln ((1+x)/x) - x² / (1+x)] )
>
> f''(x) = ... = -2 ((x / (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)²)[/color]

Là en tout cas ça ne va pas dans la dérivée du log. je dirais
f''(x) = ... = -2 [ -1 / (x (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)² ]

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

Dans le message news:m_CEd.11989$Of5.8620@nntpserver.swip.net,
bc92 a écrit:
> Bonjour,
>
> Dans le message news:41e2fa08$0$19604$636a15ce@news.free.fr,
> Alexandre a écrit:[color=green]
>> Soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par :
>> f(x) = x.ln ((1+x) / x)²[color=darkred]
>>>
>> 1.
>> (ln (x²) = 2.ln(x))
>>
>> Donc:
>> f(x) = 2x.ln ((1+x) / x)
>>
>> f'(x) = 2 ln ((1+x) / x) + 2x * ((x - 1 - x) / (1+x)/x)
>> = 2.ln ((1+x)/x) - 2x² / (1+x)
>> ( = 2 [ ln ((1+x)/x) - x² / (1+x)] )
>>
>> f''(x) = ... = -2 ((x / (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)²)[/color]
>
> Là en tout cas ça ne va pas dans la dérivée du log. je dirais
> f''(x) = ... = -2 [ -1 / (x (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)² ][/color]

Correction :
f''(x) = ... = -2 [ 1 / (x (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)² ]
Il est tard...
--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

> Là en tout cas ça ne va pas dans la dérivée du log. je dirais
> f''(x) = ... = -2 [ -1 / (x (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)² ]

Je refais la dérivée, mais ne trouve toujours pas la même chose.

Voilà mon dévellopement:

f'(x) = 2.ln ((1+x)/x) - 2x² / (1+x)

f''(x) = (2)' * ln ((1+x)/x) + 2 * (ln ((1+x)/x))' - ( (2x²)' *(1+x) -
(1+x)² *2x²) / (1+x)²

= 0 + 2* [ 1*x + 1 (1+x) ] / ((1+x) /x ) - (4x + 4x² - 2x²) / (1+x)²
= (-2 / ((1+x) / x)) - ( (4x - 2x²) / (1+x)²)

= -2 * x / (1+x) - ( (4x - 2x²) / (1+x)²)

= -2 ((x / (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)²)

[Anonyme]

Dans le message news:41e3007c$0$15696$626a14ce@news.free.fr,
Alexandre a écrit:[color=green]
>> Là en tout cas ça ne va pas dans la dérivée du log. je dirais
>> f''(x) = ... = -2 [ -1 / (x (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)² ]
>
> Je refais la dérivée, mais ne trouve toujours pas la même chose.
>
> Voilà mon dévellopement:
>
> f'(x) = 2.ln ((1+x)/x) - 2x² / (1+x)
>
> f''(x) = (2)' * ln ((1+x)/x) + 2 * (ln ((1+x)/x))' - ( (2x²)' *(1+x) -
> (1+x)² *2x²) / (1+x)²
>
> = 0 + 2* [ 1*x + 1 (1+x) ] / ((1+x) /x ) - (4x + 4x² - 2x²) / (1+x)²
> = (-2 / ((1+x) / x)) - ( (4x - 2x²) / (1+x)²)
>
> = -2 * x / (1+x) - ( (4x - 2x²) / (1+x)²)
>
> = -2 ((x / (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)²)[/color]

- depuis le message auquel tu réponds, j'ai posté une rectification de
signe
f''(x) = ... = -2 [ 1 / (x (1+x)) + (2x + x²) / (1+x)² ]

mais qui laisse subsister ton désaccord. Donc prenons la chose un peu
différemment:

g'(x)= 2 Ln ((1+x)/x) (j'oublie le second terme - 2x² / (1+x) sur lequel
on est d'accord ainsi que sur sa dérivée).
g'(x) = 2 Ln (1+x) - 2 Ln (x)
g''(x) = 2/(1+x) - 2/x
g''(x) = -2 /(x (1+x))
cqfd

je te laisse le soin de trouver l'erreur dans ton calcul...

--
Cordialement,
Bruno

[Anonyme]

J'ai avancé les deux exercices.
Allant de l'un à l'autre quand j'avais un problème, j'ai finalement avancé.

On a regardé à plusieurs et cela nous semble correct.
Mais j'aimerai avoir un coup d'oeil sur ce qui a été fait, et un coup de
main sur ce qui coince.

Exercice 1:

A. Etude d'une fonction similaire:

On considère la fonction f définie sur l'intervalle [0, +oo[ par:
f(x) = x.ln (1 + 1/x²) si x différent de 0
f(0) = 0

On note C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(unité graphique : 5cm)

Partie A:
On considère la fonction g sur l'intervalle ]0;+oo[ par:
g(x) = ln (1 + 1/x²) - 2 / (x²+1)

1.a. Calculer la dérivée g' de g.
1.b. Etudier le signe de g'

2. Déterminer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition.
3.a. Dresser le tableau de variation de g.
3.b. En déduire qu'il existe un unique alpha > 0 (Alpha qu'on notera A)
tel que g(A) = 0. Vérifier que 0.5 =< A =< 0.6
(=< : inférieur ou égal)
4. En déduire des questions précédentes le signe de g(x)


B. Etude de la fonction f:

1. Montrer que pour tout x de ]0; +oo[, on a f'(x) = g(x).
En déduire les variations de f sur ]0; +oo[
2. Calculer la limite de x.f(x) en +oo (on pourra poser h = 1/x²)
3.a. Déterminer la limite de f en 0 (on pourra écrire f(x) sous la forme
: f(x) = x.ln(x² + 1) - 2x.lnx)
3.b. Etudier la continuité de f en 0.
3.c. Etudier la dérivabilité de f en 0. Préciser la tangente de f en 0
(si elle existe).
4. Dresser le tableau de variation de f et donner l'allure de la courbe C.



Exercice 2:

Soit f la fonction définie sur ]0;+oo[ par :
f(x) = x.ln ((1+x) / x)²

1. Calculer f'(x) et f''(x). En déduire le signe de f'(x).
2. Etudier les variations de f.
3. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
4. On pose f(0) = 0. Etudier la continuité et la dérivabilité de f en 0.
5. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormal
(Unité graphie: 2cm).




Ce que j'ai fait:
(Pour éviter d'avoir des pages de calcul, je ne noterai que le résultat.
S'il y a un problème, alors je mettrai mon raisonnement).

Exercice 1:

1. g'(x) = ... = 2(x² - 1) / x.(x² + 1)²

Valeurs interdites:
x = 0

g'(x) s'annule pour:
2 (x² - 1) = 0
=> x = 1

x___________|_0__________1___________+00_
2(x² - 1)___|_______-_____O______+________
x.(x² + 1)²_|_O_____+_____|______+________
g'(x)_______|_||____-____|______+_________


2.
lim g(x) :
x-> 0

lim 1 + 1/x² = +oo
x-> 0 composée } lim ln (1 + 1/x²) = +oo
lim lnX = +oo x-> 0
X-> +oo

lim -2 / (x²+1) = -2
x-> 0

=> lim g(x) = +oo
x-> 0


lim g(x) :
x-> +oo

lim 1 + 1/x² = 1
x-> +oo composée } lim ln (1 + 1/x²) = 0
lim lnX = 0 x-> +oo
X-> 1

lim -2 / (x²+1) = 0
x-> +oo

=> lim g(x) = 0
x-> +oo

3.a.
x____|_0__________1___________+00_
g'(x)|_____-______O______+________
g(x) |_Croissant__|_décroissant___


g(1) =ln (2) - 1

3.b.
Sur l'intervalle ]0;1], g(x) est strictement décroissant.
g(1) = ln (2) - 1 <0
lim g(x)= +oo
x-> 0

Donc g coupe l'axe des abcisses en un point Alpha (noté A).

Sur [1; +oo[, g est strictement croissant.
g(1) = ln (2) - 1 <0
lim g(x)= 0
x-> +oo

Donc pour tout x >= 1, g(x) < 0

Donc il existe un unique A tel que g(A) = 0
(0< A =< 1)

g(0.5) = 0.009.. >0
g(0.6) = -0.14.. <0

=> 0.5 =< A =< 0.6

4.
D'après le Tableau de variation et la question 3.b.
Sur ]0 ; A], g est positif.
Sur [A ; +oo[, g est négatif.


B.
1.
f'(x) = ... = ln (1 + 1/x²) - 2/ (x² + 1) = g(x)

** Petit problème. Je n'arrive pas à comprendre comment je dois faire.
Normalement, cela ne devrait pas être égale aux variations de g(x) ?
D'après la calculatrice, l'extremum ne se trouve plus en 1 mais en Alpha **


2.a.
x. f(x) = x² ln (1+ 1/x²)

lim f(x) = 0
x-> +oo

x.f(x) = x² ln (1+ 1/x²)
= (1/h) * (ln (1 + h)
= ln (1+h) / h

lim h = 0
x-> +oo

Donc:
lim ln (1+h) / h = 1
h-> 0


2.b.
lim f(x) = 0
x-> +oo

(Merci la calculatrice !
lim ln (1+ 1/x²) = 0
lim x = +oo
x-> +oo

Mais la croissance comparée ne fonctionne pas)


3.b.
J'ai voulu commencer par dire qu'une fonction est continue si elle est
dérivable, mais la question suivante demandant la dérivabilité, je ne
pense pas que ce soit comme ça.

Pour la dérivabilité, il faut utiliser:

lim ( f(0 + h) - f(0) ) / h = f(0)
h-> 0

Je calcule donc lim ln (1 + 1/h²) et trouve +oo.

f(0) = 0

Donc la fonction ne serait pas dérivable ..

(Ou il y a une erreur ?)

Donc, ici, je suis coincé.


Exercice 2:

1.

Je pense qu'il y avait une erreur dans f'(x). J'ai dû le refaire, puis
me suis rendu compte qu'il manquait un "x²" quelque part. Du coup, je
l'ai refaite et cela donne ceci:

f'(x) = ... = 2.ln ((1+x) / x) - 2 / (1+x)²

Et f''(x):

f''(x) = ... = -2 / (x.(x+1)²)


Pour le signe de f'(x) j'ai un petit problème.
f''(x) est négatif, donc f'(x) est décroisant.

2.ln ((1+x) / x) est positif, donc f'(x) est positif.
(Non ?)


2.
Je suis coincé sur les variations.

3.
lim f(x) = 0
lim 2x =0
x-> 0

lim ln ((1+x) / x)² = +oo
x-> 0

Et en faisant la croissance comparée, on trouve bien 0.

Par contre, pour la limité suivante, je n'arrive pas. La calculatrice
m'affiche 2 alors que je trouve +oo.

4.
Il faut vérifier que la lim f(h) / h = f(0)
h->0

"Si f est dérivable en 0, f est continue en 0".