Fonction & Suite

[tom-tom21]

Bonsoir,
J'ai un long exercice à faire. J'ai, je pense, pas mal avancé mais je bloque à une question.
Quelqu'un pourrait-il m'aider ?

Soit la suite définie par et, pour tout entier naturel ,

1) Soit la fonction f définie sur par

a) Montrer que
OK

b) Construire le tableau de variation de f.
OK f(x) est croissante et non définie quand

c) Montrer que si x[0;1] alors f(x)[0;1]
OK

d) En déduire que pour tout entier naturel ,
OK

e) Tracer la courbe représentant la fonction dans un repère orthonormé d'unité 5 cm.
OK


2) Conjecturer graphiquement le comportement de la suite (monotonie, limite).
OK. semble être décroissante et tendre vers 0

3) Calculer , et puis donner et . Les conjectures précédentes semblent-elles se confirmer ?
OK. U1=1/3 , U2= 1/5 , U3=1/7 , U20=1/41 et U50=1/101. Les conjectures précédentes semblent se confirmer.

4) On définit la suite

a) Calculer , , et . Que peut-on conjecturer ?
OK v0=2 , v1=4 , v2=6 , v3=8
On peut conjecturer que

b) Prouver cette conjecture.
Je bloque....

[gama07]

tu peut prouver la relation par recurrence .

[gama07]

[tom-tom21]

Ah oui ok merci beaucoup j'étais arrivé jusqu'à ... =
mais après je m'embrouillais les pinceaux...

Du coup dans la question suivante on nous demande :
"Exprimer puis en fonction de ."

J'ai répondu :

et


Il me reste une dernière question sur laquelle je coince un peu :
"En déduire le sens de variation de la suite ainsi que sa limite."

Quelle méthode est il préférable d'utiliser pour trouver son sens de variation ?
- déterminer le signe de
- comparer et 1
- étudier la variation de la fonction
- ou encore la récurrence ... :mur:

[gama07]

tu peut comparer le rapport Un+1/Un avec 1 ... tu vas trouver que la suite est décroissante.

[tom-tom21]

Merci pour le coup de main.

En calculant j'obtiens -1 à la fin.

La suite est donc bien décroissante, mais comment prouve t-on que sa limite est bien 0 ?
Faut il dire simplement : "la suite étant décroissante sur [0 ; 1], la suite à pour limite 0"

Ou il y a t-il une autre manière de le démontrer ?

[Sa Majesté]

Du coup dans la question suivante on nous demande :
"Exprimer puis en fonction de ."

Dans ce cas, à la question précédente, au lieu de conjecturer , il est peut-être plus judicieux de conjecturer