je viens de terminer mon devoir sur les fonctions sinus, j'aimerai savoir si ce que j'ai fait est correct, ou si il y a des maladresse ou même de grosses erreur pour pouvoir me corriger
alors voilà:
On considere la foncion f definie pour tout x par: f(x) = 2x - sin(x)
On note C sa courbe représentative
1- a. Démontrer que f st un fonction impaire sur R
Pour que f(x) soit impaire, on doit avoir f(-x) = -f(x)
f(-x)= 2*(-x) -sin(-x)
f(-x)= -2x - sin(-x)
f(-x)= -(2x -sin(x))
soit f(-x)= -f(x)
CQFD
b. En déduire que la courbe C admet une symétrie que l'on precisera
Comme la fonction f(x) est impaire, alors sa courbe representative C admet une symetrie qui a pour centre l'origine du repere soit le point de coordonnées (O ; O)
2- Calculer la dérivée de f et en deduire le sens de variation de f sur R
f'(x)= 2-cos(x)
-1 f(x)> 2x - 1
2x-1 = x(2 - 1/x)
* lim x (tend vers +oo) = +oo et lim 1/x (tend vers +oo) = 0
donc lim (2x-1) (tend vers +oo) = +oo
et donc d'apres le theoreme de comparaison lim f(x) (x tend vers +oo) = +oo
==> f(x)< 2x + 1
2x-1 = x(2 - 1/x)
* lim x (tend vers -oo) = -oo et lim 1/x (tend vers -oo) = 0
donc lim (2x+1) (tend vers -oo) = -oo
et donc d'apres le theoreme de comparaison lim f(x) (x tend vers -oo) = -oo
5- Dresser le tableau de variations complet de f sur R
http://image.noelshack.com/fichiers/2012/47/1353850177-tab.jpg
6- Soit D1 la droite d'equation réduite y=2x +1
a. détérminer les abscisses des points communs à C et D1; puis l'ordonnée de ces points
2x+1 = 2x - sin(x)
sin (x) +2x -2x = -1
sin (x) = -1
sin (x) = sin (-pi/2)
* x1= -pi/2 + k*2pi ou x2= pi - (-pi/2) + k*2pi = 3pi/2 + k*2pi
y1= 2(x1) + 1 = 2*(-pi/2 + k*2pi) + 1 = -pi + 2(k*2pi) +1
y2= 2(x2) + 1 = 2*(3pi/2 + k*2pi) +1 = 3pi + 2(k*2pi) +1
Les points communs de C et D1 sont les points de coordonnées
(-pi/2 + k*2pi ; -pi + 2(k*2pi) +1)
ou (3pi/2 + k*2/pi ; 3pi +2(k*2pi) +1)
b. Démontrer que la tangente à C en chacun de ces points est la droite D1
y= f'(-pi/2 +k*2pi) (x - (-pi/2 + k*2pi)) + f(-pi/2 + k*2pi)
f'(-pi/2 + k*2pi) = 2-cos (-pi/2 + k*2pi) = 2 - 0 = 2
f(-pi/2 + k*2pi)= 2 (-pi/2 + k*2pi) - sin (-pi/2 + k*2pi) = -pi + 2(k*2pi) +1
y= 2 (-x + pi/2 - k*2pi) - pi + 2 (k*2pi) + 1
y= 2x + pi - 2(k*2pi) -pi +2(k*2pi) +1
y= 2x+1
CQFD
7- Soit D2 la droite d'equation réduite y= 2x-1
a. déterminer les abscisses des points communes à C et D2 puis l'ordonnée de ces points
2x-1 = 2x - sin(x)
sin(x)= 2x - 2x +1
sin(x) = 1
sin(x) = sin(pi/2)
x1= pi/2 + k*2pi ou x2= pi - pi/2 + k*2pi = pi/2 + k*2pi
donc abscisse: x= pi/2 + k*2pi
y= 2x- 1
y= 2 (pi/2 + k*2pi) - 1
y= pi + 2(k*2pi) -1
point commun : ( pi/2 + k*2pi ; pi+ 2(k*2pi) -1 )
b. Démonrer que la tangente à C en chacun de ces points est la droite D2
y = f'(pi/2 + k*2pi) (x - (pi/2 + k*2pi)) + f(pi/2 + k*2pi)
f'(pi/2 + k*2pi)= 2
f(pi/2 + k*2pi) = pi +2(k*2pi) -1
y= 2 (x - pi/2 - k*2pi) + pi + 2(k*2pi) -1
y= 2x-1
CQFD
Voila
ensuite on me demande de construire precisement les droite D1 et D2 ainsi que C et TQuelqu'un pourrait me dire comme je m'y prends pour construire avec precision c'est 4 courbes svp
Merci !