Dm fonction sinus et autres

[coucou23]

Bonjour à tous, 3 autres personnes de ma classe de terminale S et moi devons faire un DM ensemble, cependant nous le trouvons très compliqué et dès les premières questions nous sommes bloquées, nous avons essayé de continuer en passant les questions où nous bloquons mais cela ne change rien nous n'avançons pas . Je vous mets donc l'énoncé ainsi que ce que nous avons fait en espérant que vous nous donnerez des pistes afin de réussir ce dm.
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on dispose de la courbe C représentative de la foncion sinus et du point A et de coordonnées (0 ; 3 ).
Voir Image
Les objectifs de l'exercie sont de :
_trouver la position de M sur C minimisant la longeur entre le point A et la courbe représentative de la fonction sinus
_déterminer les points M de C en lesquels la tangente à C est perpendicuaire à la droite (AM).

1. Visualiser le problème posé sous Geogebra et conjecturer les résultats.
2. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x - 3 cos x + sin x cos x
a) Etudier les variations de f sur [(-3;))/2 ; 3;)/2], dresser son tableau des variations sur ce même intervalle puis démontrer que l'équation f(x) = 0 admet 3 solutions sur l'intervalle [(-3;))/2 ; 3;)/2] dont on donnera un encadrement à 10^-2.
b) Démontrer que pour tout x appartenant à [3;)/2 ; + infini ], f(x) > 0 et que pour tout x appartenant à [- infini ; (-3;))/2 ], f(x) < 0. En déduire que l'équation f(x) = 0 admet 3 solutions réelles.
c) Etablir le signe de f(x) selon les valeurs du réel x.
3.
a) On note x l'abscisse du point M. Démontrer que la longueur AM s'écrit d(x) = racine carrée de (x² + (sinx-3)²)
b) Démontrer que, pour tout x appartenant à R, d'(x) est du signe de f(x)
c) Etudier les variations de d et conclure quant à la position de M minimisant la longueur entre le point A et la courbe représentative de la fonction sinus.
4.
a) Démontrer que lorsque la longueur AM est minimale, la droite (AM) est perpendiculaire à la tangente à C en M
b) Existe-t-il d'autres points M de C en lesquels la tangente à C est perpendiculaire à la droite (AM) ?
Donc nous avons fait la première question :
1. Il semble que M doit avoir les coordonnées (1,06 ; 0,872) pour que la longueur entre le point A et la courbe représentative de la fonction sinus soit minimale.
Et il semble que M doit avoir les coordonnées (-3.07 ; -0.072) ou (1,06 ; 0,872) pour que la tangente à C au point M soit perpendiculaire à la droite (AM)
Ensuite nous avons commencé la question 2 nous avons donc voulu pour étudier les variations de f faire la dérivée de f, ensuite étudier le signe de f' afin d'avoir les variations de f. Mais le problème c'est que nous avons comme dérivée : 1 + 3sinx + cos²x - sin²x et donc nous ne voyons pas comment nous pouvons étudier le signe de f'.
Nous espérons vraiment obtenir de l'aide, nous ne demandons pas des réponses mais des pistes pour chaque question.
Merci d'avance.

[siger]

bonsoir,

la derivee est une. equation du second degre en sin(x)
f'(x)= 0 admet une racine inferieure a 1 donc deux solutions pour x
.......

vous pouvez aborder la question 3 meme si le calcul vous conduit a utiliser les resultats du 2

pour la question 4 utiliser le fait que la tangente et AM sont perpendiculaires si le produit de leur cosinus directeur est egal a -1

[coucou23]

Bonjour, pour la question 2 nous pensons avoir trouvé equation du second degre en sin(x) mais nous ne sommes pas du tout sûres. Voici notre raisonnement :
f'(x)=1+3sin(x)+cos²(x)-sin²(x)
or on sait que cos²(x)+sin²(x)=1
Donc cos²(x) = 1-sin²(x)
Ainsi on trouve f'(x)=1+3sin(x)+cos²(x)-sin²(x)=1+3*sin(x)+1-sin²(x)-sin²(x)
=2+3sin(x)-2sin²(x)
on pose X=sin(x)
Donc f'(x)= -2X²+3X+2
Delta = b²-4ac
=3²-4*(-2)*2
=9+16
=25
Donc x1=[-b+racinecarréede(delta)]/2a
=[-3+racinecarréede(25)]/2*(-2)
=(2)/(-4)=1/2
Et x2=[-b-racinecarréede(delta)]/2a
=[-3-racinecarréede(25)]/2*(-2)
=(-8)/(-4)=2
Mais ces résultats nous semblent bizarres donc nous aimerions savoir si nous sommes parties dans la bonne direction.

Merci beaucoup de nous aider ! :happy2:

[mathelot]

bonjour,

ce qui me semble obscur:

la fonction racine est croissante. (elle conserve les comparaisons et le minimum)

pourquoi vous ne minimisez pas le carré de la distance ?











effectivement est un trinome en sin(x)

[siger]

Bonjour, pour la question 2 nous pensons avoir trouvé equation du second degre en sin(x) mais nous ne sommes pas du tout sûres. Voici notre raisonnement :
f'(x)=1+3sin(x)+cos²(x)-sin²(x)
or on sait que cos²(x)+sin²(x)=1
Donc cos²(x) = 1-sin²(x)
Ainsi on trouve f'(x)=1+3sin(x)+cos²(x)-sin²(x)=1+3*sin(x)+1-sin²(x)-sin²(x)
=2+3sin(x)-2sin²(x)
on pose X=sin(x)
Donc f'(x)= -2X²+3X+2
Delta = b²-4ac
=3²-4*(-2)*2
=9+16
=25
Donc x1=[-b+racinecarréede(delta)]/2a
=[-3+racinecarréede(25)]/2*(-2)
=(2)/(-4)=1/2
Et x2=[-b-racinecarréede(delta)]/2a
=[-3-racinecarréede(25)]/2*(-2)
=(-8)/(-4)=2
Mais ces résultats nous semblent bizarres donc nous aimerions savoir si nous sommes parties dans la bonne direction.

Merci beaucoup de nous aider ! :happy2:

La reponse sin(x) = 2 ne convenant evidemment pas il reste
sin(x) = -1/2 (sauf erreur) ou x= -pi/6 et x=-5pi/6
pour x = -pi/2 la fonction est negative
par suite la derivée f'(x) est ....(tableau de variation)
ensuite il faut calculer f(-5pi/6) et f(-pi/6) pour connaitre le signe des maxima: si ceux ci sont de signe opposés f(x) coupe trois fois l'axe OX, donc ....

[coucou23]

La reponse sin(x) = 2 ne convenant evidemment pas il reste
sin(x) = -1/2 (sauf erreur) ou x= -pi/6 et x=-5pi/6
pour x = -pi/2 la fonction est negative
par suite la derivée f'(x) est ....(tableau de variation)
ensuite il faut calculer f(-5pi/6) et f(-pi/6) pour connaitre le signe des maxima: si ceux ci sont de signe opposés f(x) coupe trois fois l'axe OX, donc ....

Bonjour,
Donc pour continuer nous avons mis que sin(x) = -0.5 et donc x = -pi/6 ou x=-5pi/6 ou x=7pi/6 dans l'intervalle [-3pi/2 ; 3pi/2], nous avons pu trouvé ces résultats grâce au cercle trigonométrique, il y avait d'autres valeurs mais elles n'étaient pas comprises dans l'intervalle.
Ensuite, nous pouvons faire le tableau de signe de f'(x) et donc le tableau de variation de f(x).

Voir image

On sait que f est continue et strictement croissante sur l'intervalle : [-3pi/2 ; -5pi/6]
On sait que f(-3pi/2) 0
Donc 0 appartient à [f(-3pi/2) ; f(-5pi/6) ]
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [-3pi/2 ; -5pi/6], alpha ~ -3.07

On sait que f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle : [-5pi/6 ; -pi/6]
On sait que f(-5pi/6) > 0 et f(-pi/6) 0
Donc 0 appartient à [f(-pi/6) ; f(7pi/6) ]
Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur l'intervalle [-pi/6 ; 7pi/6], gamma ~ 1.05

Sur l'intervalle [7pi/6 ; 3pi/2] f est continue et strictement décroissante.
Mais f(7pi/6) > 0 et f(3pi/2) > 0 donc l'équation f(x) = 0 n'admet aucune solution sur l'intervalle [7pi/6 ; 3pi/2]

Donc l'équation f(x) = 0 admet 3 solutions sur l'intervalle ; [-3pi/2 ; 3pi/2] : alpha ~ -3.07, beta ~ -2.18 et gamma ~ 1.05.

Nous espérons que notre raisonnement est juste, cependant pour le b nous ne voyons pas du tout comment faire.

Merci encore de votre aide !

[coucou23]

Nous n'arrivons pas à poster l'image du tableau...

[paquito]

Pour le tableau et justifier les signes, comme est continue, vous avez le droit de calculer une valeur .
Exemple: s'annule en , puis après en ; comme sur .
Sinon, ce que vous avez fait pour justifier que f(x)=0 est tout à fait correct. C'est même très bien fait!

[coucou23]

Pour le tableau et justifier les signes, comme est continue, vous avez le droit de calculer une valeur .
Exemple: s'annule en , puis après en ; comme sur .
Sinon, ce que vous avez fait pour justifier que f(x)=0 est tout à fait correct. C'est même très bien fait!

Nous ne comprenons pas votre explication pour la question d 2 b., nous sommes désolées pouvez nous ré expliquer d'une autre manière.

Enfin nous avons réussi enfin on espère toutes les autres questions cependant pour la question 4. b il nous ai demandé : existe t- il d'autres points M donc nous voudrions savoir si il faut appliquer la même méthode que pour la 4 a où nous avons utilisé le produit scalaire ou faut il simplement citer les autres points ?

Merci pour votre aide !

[paquito]

Bonjour,

normalement le signe de se trouve assez facilement, mais ici c'est beaucoup plus délicat; par contre vous connaissez les valeurs qui annulent sur
, à savoir
, et ;

cela découpe en 4 intervalles sur lesquels f'(x) ne s'annule pas;

le premier étant , or f' est une fonction continue et une

conséquence du théorème des valeurs intermédiaires est: toute fonction continue qui ne s'annule pas sur un intervalle garde un signe constant sur cet intervalle;

en effet, s'il existait 2 réels donc sur

Cette méthode, réservée au cas difficiles est donc parfaitement justifiée par un théorème du programme; si on l'utilise, il faut écrire avant de faire les calculs:

toute fonction continue qui ne s'annule pas sur un intervalle garde un signe constant sur cet intervalle, donc ...

Pour la 4)b) on a ) et un vecteur directeur de la tangente au point d'abscisse x est et donc .