Fonction de répartition

[Pedro45]

Bonjour, j'ai une question concernant une fonction de répartition :

F(x) = [ (x+2)/2 si -2<x<-1 ; x/2 si 1<x<2)]

Dans ces cas ci, sur l'intervalle ]-1;1[ la fonction de répartition est nulle ? Ou c'est une constante différente de 0 ?
De plus, sur ce même intervalle, la densité est nulle ou est une constante différente de 0 ?

Merci beaucoup

[lyceen95]

Tu parles d'une fonction de répartition.

Que sais-tu sur les fonctions de répartition ? Quelle est leur particularité principale ? Ou quelle est leur définition ? A partir de la définition tu peux retrouver un certain nombre de propriétés, et donc répondre à ta question.

[Pedro45]

Alors la fonction de répartition est définie comme si :
Fx(x) =P(X<x)
c'est donc une probabilité qui renvoie une valeur entre 0 et 1.

Sur l'intervalle ]-1;1[ ici, comme elle n'est pas définie je me dis qu'elle est nulle sur l'intervalle.
Sauf que je me dis aussi que P(X<0.5) (par exemple) est égale à la probabilité suivante : P(X<-1) et ainsi je pense de par cette réflexion sur une constante non nulle.

Ma première intuition serait donc que sur l'intervalle ]-1;1[ la fonction de répartition est une constante non nulle et la densité de X est nulle sur cet intervalle. Mais je n'ai pas vraiment de certitude sur la logique...

[catamat]

Bonjour

Quel est le sens de variation de la fonction F ? (de façon générale et donc bien sûr dans ce cas précis)

[Pedro45]

Bonjour,

Je dirais strictement croissante... Du coup ca veut dire qu'elle ne peux pas être nulle car ca ferait : croissante puis décroissante puis croissante ?

[lyceen95]

Une fonction de répartition est une fonction croissante. Et aussi, c'est une fonction continue. (continue = qu'on peut tracer d'un trait, sans lever le stylo)
Et dernière propriété d'une fonction de répartition (pas utile ici), c'est qu'on part de 0 tout à fait à gauche, pour arriver à 1 tout à fait à droite.

Si tu as dessiné les 2 portions de la courbe pour lesquelles on connait précisément les valeurs... il n'y a plus qu'un prolongement possible pour obtenir une fonction continue et croissante.

La dérivée de la fonction de répartition, c'est la densité dont tu parle. Donc sur les intervalles où la fonction de répartition monte, la densité est strictement positive.
Et sur les intervalles où la fonction de répartition forme un plateau plat, la densité est effectivement nulle.

[lyceen95]

Une fonction de répartition est croissante, pas strictement croissante.

[Pedro45]

Super c'est compris, merci beaucoup pour votre aide qui m'a été d'une grande utilité.