Fonction racine carrée et Pythagore

[Victor78380]

Bonsoir,

je dois résoudre un problème de mathématiques et je suis bloqué à 3 endroits.
J'espère que vous pourrez me donner quelques pistes.

J'ai une fonction définie par : f(x) = Racine ( 2(x-4)^2 + 32 ).

1) je dois justifier que f est définie sur R.
-> je dis que par définition, 2(x-4)^2 + 32 > 0.
Si je développe j'obtiens : 2 x^2 - 16x + 64 > 0.
Je sais que cette équation n'a pas de solution mais je ne sais pas l'expliquer.
J'ai demandé à un terminal, il m'a parlé de discriminant mais je n'ai pas encore vu ce genre de chose.

2) Dresser le tableau de variation.
D'après ma calculatrice je vois que la courbe est décroissante.
je suis partie sur la piste de prouver qu'elle l'est bien en partant de l'hypothèse que si a > b (a et b 2 réels), alors je devrais avoir f(a)-f(b)<0.

-> f(a)-f(b) = Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) - Racine ( 2(b-4)^2 + 32 )
J'ai Racine(A) - Racine(B), j'enlève la racine en multipliant par [ Racine(A)+Racine(B)] / [Racine(A)+ Racine(B)] avec a^2 - b^2 = (a + b) (a - b). J'obtiens alors :

f(a)-f(b) = [ Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) - Racine ( 2(b-4)^2 + 32 ) ] * [ Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) + Racine ( 2(b-4)^2 + 32 ) ] / [ Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) + Racine ( 2(b-4)^2 + 32 ) ].

Par définition le dénominateur [ Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) + Racine ( 2(b-4)^2 + 32 ) ] est toujours positif.

Et lorsque je développe le numérateur :

[ Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) - Racine ( 2(b-4)^2 + 32 ) ] * [ Racine ( 2(a-4)^2 + 32 ) + Racine ( 2(b-4)^2 + 32 ) ]
= .....
= 2 ( a-b) (a+b-4).

je sais que a > b implique que a -b > 0.
Mais qu'est ce que je peux dire sur a+b-4 ? (je bloque)

3) Enfin, on me demande de trouver la plus petite hypoténuse d'un triangle rectangle en A en sachant que AB + AC = 8.

Je pose AB = x et AC = y et z = BC.
Avec Pythagore je peux dire que : x^2 + y^2 = z^2.
Si je développe, je dit que : z = Racine ( x^2 + y^2 )
C'est à dire que : z = Racine ( (x + y)^2 - 2xy ).
je n'arrive pas à voir l'analogie avec ma fonction f(x) du point 1. Je bloque là aussi.

Sauriez-vous m'aider ?
Bon courage en tout cas si vous avez réussi à lire jusque là

[Sa Majesté]

Salut,

Pour la 1) il faut montrer que pour tout x réel
Que peux-tu dire de (x-4)² ?

[Victor78380]

1) Je sais qu'un nombre carré est toujours positif ou nul sur R.
Donc (x-4)^2 >= 0 sur R, car x-4=0 uniquement pour x=4.
Donc 2(x-4)^2 +32 est toujours strictement positif sur R.
Donc la fonction f(x) est strictement positive sur R, pour tout x dans R.
Qu'en pensez-vous ?

Pour la question 2) (le tableau de variation), je pense qu'il ne faut pas faire f(a)-f(b).

Nous avons vu que pour une forme canonique de la forme f(x) = a (x- alpha)^2 + beta, si a >0, la courbe est une parabole vers le bas.
Mais ici nous avons une fonction racine carrée qui contient cette forme canonique. Et là, je bloque à nouveau.
Avez-vous une piste ?

[fatal_error]

slt,

pour 2) tu peux utiliser les variations de fonction composées: http://les-bonnes-notes.fr/article-vari ... 76379.html

que dire de sur , et pareil sur

[aymanemaysae]

Bonjour;


Pour la question n° 2 , si tu n'as pas encore fait un cours sur les dérivées , tu peux utiliser les notions que tu as étudiées sur les variations des fonctions composées .

Soit u la fonction définie sur IR par : u(x) = 2(x - 4)² + 32 .
C'est une fonction usuelle dont tu as étudié les variations : elle est décroissante sur ] ; 4] et croissante sur [4 ; [ .

On a d'après la forme canonique que u(] ; 4])= [ ; [ , et comme la fonction racine carrée est croissante sur [ ; [ alors la fonction f est décroissante sur ] ; 4] .

On a aussi u([4 ; [)= [ ; [ , et comme la fonction racine carrée est croissante sur [ ; [ alors la fonction f est croissante sur [4 ; [ .

[aymanemaysae]

Je m'excuse fatal_error ; je n'avais pas vu ton message .

[Victor78380]

merci beaucoup pour vos coups de pouces, j'ai réussi à me débloquer et à tout terminer

A bientôt

[fatal_error]

je crois que ya eu une coquille @aymanemaysae
u: x-> 2(x - 4)² + 32 donne pas des valeurs dans [sqrt(32); +infty[ mais dans [32; +infty[, mais ca change pas la suite vu que sqrt est croissante sur [32; infty[ aussi!

Je m'excuse fatal_error ; je n'avais pas vu ton message .

uiui pas de soucis