Fonction à raccordement avec exponentielle

[Anonyme]

Bonjour,
Voici un petit problème de maths qui me semble assez simple, mais qui me laisse tout de même dans le doute ...

On nous donne la fonction f(x) définie pour x supérieur ou égal à 0 par :
f(0) = 0 et f(x) = xe^(1/x)
En premier lieu on nous demande si la fonction est continue.
En calculant la limite de f(x) en 0, on trouve +infini, donc elle n'est pas continue.

En second lieu, on nous demande si elle est dérivable.
Suffit-il bien dire qu'elle ne l'est pas parce qu'elle n'est pas continue, ou faut-il faire un calcul pour le prouver ? Ce qui me gêne ici, c'est de en fait de savoir si on considère x = 0 ou non ... si "dérivable" s'applique sur tout l'ensemble de définition, alors je pense que c'est non ... mais je continue à douter ...

Puis on nous pose diverses autres questions, pour lesquelles je pourrais me débrouiller tout seul, si ce n'est celle de l'asymptote :
On nous demande de prouver que la droite d'équation y=x est asymptote de la courbe, mais qu'elle ne la touche jamais.
Mais je n'arrive pas à calculer la limite de f(x) - x : je ne sais pas si on peut dire que la limite de x(e^(1/x) - 1) est la limite de e^(1/x) ...

Merci d'avance à ceux qui voudront bien me répondre ...

[hellow3]

Salut.

La fonction est derivable sur R+*.
Pour 0,
si une fonction est derivable en un point, alors elle est continue en ce point. Donc si elle n'est pas continue en un point, elle n'est pas derivable.

Pour l'asymptote, e(x) derivable en 0, donc lim(e(h)-e(0))/h=(e(1))' quand h tend vers 0.
or e'(1)=e(1)=0 (exponentielle est sa propre derivée).

donc lim (e(h)-1)/h=0 quand h tend vers 0.

[Anonyme]

Euh,
je ne suis pas sûr de bien comprendre pour l'asymptote ...

Je ne comprends pas vraiment ceci :
lim(e(h)-e(0))/h=(e(1))

et surtout ceci :
e'(1)=e(1)=0

D'autant plus que pour une asymptote oblique, il faut calculer la limite en infini de f(x) - y, non ?

[hellow3]

Oui,excuse moi je sais pas ce que j'ai foutu:
(exp)'(0)=exp(0)=1.

lim(e(h)-e(0))/h=(e(0))'=1

[Anonyme]

Oui, mais je ne vois vraiment à quoi nous avance le calcul de la limite en 0 de (e(h)-e(0))/h par rapport à l'asymptote ... Je pensais qu'il fallait partir de la différence entre l'équation de la courbe et celle de la droite ?

[hellow3]

lim x(e(1/x) -1) quand x tend vers +infini
= lim(e(X) -1)/X quand X=1/x tend vers 0.

or lim (e(X)-1)/X quand X tend vers 0
=lim(e(X)-e(0))/X quand X tend vers 0
=e'(0) quand X tend vers 0

OK?

[Anonyme]

Ah, Ok, d'accord ...
Donc on trouve une limite de 1.
Est-ce que ça veut dire que la droite d'équation y=x n'est pas asymptote,
ou est-ce que ça prouve qu'est l'est mais qu'elle ne croise jamais la courbe ?

[hellow3]

C'est la droite y=x ou y=x+1?

parce que quand je traces...

[Anonyme]

Non, c'est bien écrit y = x ...
Mais c'est peut-être une erreur, ça semble bien fonctionner avec y = x + 1,
et en plus on trouverait une limite de 0 ...

[hellow3]

oui, bizare...

[Anonyme]

Dans ce cas-là, je demanderai à mon prof s'il n'y a pas une erreur ...
Mais je pense que y = x + 1 car si y = x l'asymptote croise la courbe en x = 0 ... et ça ne colle pas avec le reste de la question.

Pour montrer que l'asymptote ne croise pas la courbe, on doit montrer que l'équation f(x) - y = 0 n'a pas de solution, c'est bien ça ?
Mais je ne vois pas vraiment comment on peut faire ...

Si on considère y = x + 1,
f(x) - y = x(e^(1/x) - 1) - 1
il faudrait montrer que cela ne peut pas être égal à 0, mais je ne vois pas comment ...

[hellow3]

j'ai bien une idée, mais pas la plus simple.

f(x) - y = x(e^(1/x) - 1 -1/x) on pose X=1/x
=(e^(X)-1-X)/X

X tend vers 0+
le signe de f(x)-y est donc celui de e^(X)-X-1.
etude classique, dérivée qui est positive pour X>0.
Donc e^(x)-X-1>e^(0)-0-1>0

donc f(x)-y>0

[Anonyme]

Je comprends ... Merci beaucoup !