Fonction puissance

[Student44]

Bonjour,

Petit problème sur l'équivalence de taux d'intérêt, merci pour votre aide.

on prend un taux t' % qui est équivalent à un taux annuel de t %. Cela signifie qu'un même capital placé pendant un an, à l'un ou à l'autre de ces taux d'intérêts composés, acquiert la même valeur.

Je dois démontrer que :

1 + t/100 = ( 1 + t'/100 ) ^12

Je ne vois pas trop comment procéder. Je pense que t' = t ^ (1/12), mais je ne sais pas si c'est la bonne piste.

Merci pour votre précieuse aide.

[Quidam]

Bonjour,
Si t' est le taux mensuel, au bout d'un mois une somme S placée est augmentée de S*t'/100, donc devient S+S*t'/100, soit S*(1+t'/100).
Au bout de deux mois, elle devient , puis au bout de trois mois ,... et au bout de douze mois .
Si t est le taux annuel, au bout d'un an une somme S placée devient S*(1+t/100)

Si donc les deux taux sont équivalents, c'est que :



D'où :



Ou encore :

Je pense que t' = t ^ (1/12), mais je ne sais pas si c'est la bonne piste

Non, ça c'est inexact !

[Student44]

Ah oui d'accord, je comprends mieux le problème maintenant. C'est tout bête, mais j'avais du mal à le décortiquer.

Ensuite, on me demande de caculer le taux mensuel équivalent à un taux annuel de 6 %. Donc il me suffit de résoudre l'équation, soit :

1 + 0,06 = ( 1 + t'/100 ) ^12

1,06 = ( 1 + t'/100 ) ^12

ln ( 1 + t'/100 ) ^12 = ln (1,06)

12 ln ( 1+ t'/100 ) = ln (1,06)

ln ( 1 + t'/100 ) = [ ln (1,06) / 12 ]

e ^ ( ln ( 1 + t'/100 ) ) = e ^ [ ln (1,06 ) / 12 ]

1 + t'/100 = e ^ [ ln (1,06 ) /12 ]

t'/100 = e ^ [ ln (1,06 ) /12 ] - 1

t' = [ e ^ [ ln (1,06 ) /12 ] - 1 ] * 100

t' = 0,000048676

Est ce que ce résultat est correct?

[Student44]

Oups petite erreur de calcul, cela fait t' = 0,486755, c'est cela?

[Quidam]

Oups petite erreur de calcul, cela fait t' = 0,486755, c'est cela?

C'est tout bon !

[Student44]

on appelle taux actuariel, le taux mensuel équivalent multiplié par 12. Calculer le tax actuariel d'un placement à un taux annuel égal à 4,5%.

Dans un premier temps, j'ai repris l'équation initiale pour trouver le taux mensuel t'. Cela me donne t' = 0,3674.

Ensuite pour trouver le taux actuariel t'', j'ai fait t' * 12, soit t'' = 4,4088 %.

Vous êtes d'accord? merci bien.

[Quidam]

on appelle taux actuariel, le taux mensuel équivalent multiplié par 12. Calculer le tax actuariel d'un placement à un taux annuel égal à 4,5%.

Dans un premier temps, j'ai repris l'équation initiale pour trouver le taux mensuel t'. Cela me donne t' = 0,3674.

Ensuite pour trouver le taux actuariel t'', j'ai fait t' * 12, soit t'' = 4,4088 %.

Vous êtes d'accord? merci bien.

Oui, et non !
Tu as arrondi t' avant de faire la multiplication par 12. Si tu arrondis, au moins faut-il arrondir au chiffre le plus proche. Or t'=0,36748094... ; si tu arrondis il faut dire t'=0.3675. En multipliant par 12, il vient t''=4.4100. Si tu n'avais pas arrondi, tu aurais obtenu 0,36748094*12=4,40977128. 4.41 est tout de même largement meilleur que 4,4088, et le mieux c'est encore d'arrondir APRES la multiplication, soit 4.4098 ! Cela n'a pas de sens de donner 5 chiffres (4.4088) alors que les deux derniers sont faux !

Cela dit, j'espère que tu auras compris que le taux actuariel tel que tu le définis, n'a strictement aucune signification mathématique ! C'est juste un artifice inventé par les banquiers pour minimiser le taux. Pour les taux extrêmement bas que l'on utilise ces temps-ci, cela fait peu de différence, mais le taux du prêt que j'ai contracté il y a 24 ans aujourd'hui était annoncé à 14% (taux actuariel) alors que le vrai taux était donc 14.93% ! Le taux actuariel est une pure tricherie qui ne correspond à rien !