Fonction polynôme du second degré

[kalvy]

Alors voilà, je suis en 1eres, et je dois faire un DM, avec 2 problèmes. voici le second problème, concernant les fonction spolynômes :

1) Lénard est géomètre. il veut partager un carré de côté 1 en parties de même aire selon le schéma ci-dessous.
Quelle valeur doit-il donner à x pour arriver à ses fins ?



2) Mais léonard est aussi esthète. ne trouvant pas élégante sa construction, il décide de supprimer la zone triangulare noire. Ainsi, les 3 parties retantes sont triangulaires.
peuvent-elles avoir la même aire ?



3) Et Léonard est mathématicien. Ayant réalisé grossièrement (ci-desous) la construction de la question 2, il mène du point H la perpendiculaire (HJ) à la droite (AB). Il a l'impression que les droites sont concourrantes.
qu'en est-il ?



pouvez-vous m'aider s'il vous plait? je ne sais vraiment pas comment faire ...
[Désolée pour les imags, je ne sais pas comment faire pour les voir directement ...]
Merci d'avance à ceux qui pourront m'aider

[Noemi]

Question 1 : Exprime en fonction de x, l'aire du rectangle et l'aire du quadrilatère.

[kalvy]

ok.
Pour que ce soit plus simple, on va utiliser les lettres utilisées pour la figure 3, je m'y retrouverai mieux ^^

Alors,
A(ABCD) = AB*BC=1*1=2
A(DIBH) = A(ABCD)-[A(AHD) + A(DCI) = 2-[2(1*x)/2)] = 2-(1*x) = 2-x

C'est ça ?

[Noemi]

Le raisonnement est juste mais le calcul : 1*1=2 ?????

[kalvy]

Ouppsss -_-' Désolée, je reprends :

A(ABCD) = 1
A(DIBH) = 1-x
Voilà, c'est mieuxje pense ^^

[Noemi]

c'est juste

[kalvy]

Ok, et ensuite, je dois faire comment ?

[Noemi]

Tu écris et tu résous l'équation correspondant à : l'aire d'un triangle = l'aire du quadrilatère.

[kalvy]

voià ce que je propose,
A(DCI) = A(DIBH)
(1*x)/2 = 1-x
x/2 = 1-x
x/2 + x = 1
x+x = 1*2
2x = 2
x = 2/2
x=1

C'est juste ?

près véification, je propose plutôt :

(1*x)/2 = 1-x
x = (1-x)*2
x = 2-2x
x+2x = 2
3x = 2
x = 2/3

[Noemi]

c'est juste jusqu'à : x/2 + x = 1
qui donne 3x/2 = 1

[kalvy]

Avec la modification du calcul que je viens de mttre, le résultat est juste puisque :
A(DCI)= (1*x)/2 = (1* 2/3)/2 = 0.33...
A(ADH) = pareil : 0.33..
A(DIBH) = 1- (2/3) = 0.33...

Donc, pour que les 3 aires soient égales, il faut : x=2/3

[Noemi]

c'est juste.

[kalvy]

Merci déjà pour la 1ere question ^^ C'était pourtant pas difficile :S

tu veux bien encore m'aider pour les autres ? xD

[Noemi]

Ok pour les autres, indique tes calculs.

[kalvy]

voici ma réponse à la question 2 :

A(BIH) = [(1-x)²]/2 = (1² - 2x + x²)/2 = x² -x+1
A(DIH) = A(DIBH) - A(IBH) = (1-x) - (x²-x+1) = 1-x-x²+x-1 = -x²
A(DIC) = x/2

Donc, on veut :
A(DIC) = A(DIH)
x/2 = -x²
x/2 + x² = 0
x + x² = 0*2 = 0
x(1+x) = 0
x = 0 ou 1+x=0
x = 0 ou x = -1

une longeur ne peut être négative ou nulle, donc les 3 arties restantes n'auront pas la même aire.

qu'en penses-tu ?


par contre, pour la 3eme question, je n'en ai vraiment aucune idée ...

[Noemi]

A(BIH) = [(1-x)²]/2 = (1² - 2x + x²)/2 = x² -x+1 faux
C'est : A(BIH) = (1 - 2x + x²)/2

[Noemi]

L'image pour la dernière question n'est pas la bonne.

[kalvy]

Et mince, j'ai encore simplifié alors qu'il ne fallait pas ... -_-'

je recommence donc :

A(BIH) = (x²-2x+1)/2
A(DIH) = (-x²+1)/2
A(DIC)= x/2

A(DIC) = A(DIH)
x/2 = (-x²+1)/2
x = -x²+1
x+x² = 1
x+x²-1= 0
a=1 b=1 c=-1
delta = b²-4ac = 1² - 4*1*-1 = 1 +4 = 5 (5>0)
donc, l'équation a deux solutions distinctes :
(-b-racine de delta)/2a et (-b+racine de delta)/2a

j'ai juste comme l'impression de m'être encoe trompée ... non ?

Edit : en effet, voici la vraie image, dsl ^^

[Noemi]

Le calcul est juste, tu choisis la racine positive.

[kalvy]

Ah, donc à la suite, je rajoute :
Une longeur est positive, donc :
(-1+racine de 5)/2 = mais à, j'arrive pas continuer mon calcul ...