DM fonction logarithme term S

[lilize8850]

Bonjour à tous!

J'aurai besoin d'aide pour mon DM de maths auquel je ne comprend pas grand chose.

Le plan P est muni d'un repère orthonormal (O ; i ; j) (unité graphique 3cm)

1) On considère la fonction f définie sur [0 ; +l'infini[ par f(0) = 1
et f(x)= (ln(1+x)) / x pour x>0 . Préciser la limite de f en 0.
Ici je trouve comme limite 1

2) a) Etudier le sens de variation de la fonction g définie sur [0 ; +l'infini[ par :
g(x) = ln(1+x) - (x - x²/2 + x^3/3)
Ici j'ai g'(x)=(-1+x-x²)+ (1/(1+x)) g est donc décroissant
Mais je n'arrive pas à trouver les limites en o et +l'infini !!! J'ai une forme indéterminé
Et arrivée à cette question je comprend plus rien ...
--> Calculer g(0) et en déduire que sur R+ :
ln(1+x) ou= 0 alors :
ln(1+x) >ou= x - x²/2

c)Etablir que pour tout x strictement positif on a :
-1/2 <ou= (ln(1+x)-x)/x² <ou= -1/2 + x/3
En déduire que f est dérivable en 0 et que f '(o)= -1/2

Please help me

[Sylviel]

pour tes limites en 0 et plus l'infini tu n'as pas de forme indéterminée en 0 et les comparaisons les plus classiques te donnent la limite en + inf (factorise éventuellement par le monome de plus haut degré, ici x^3 si tu veux être vraiment convaincu mais bon).

Et ben si g(0) est <=0 et que g est décroissante, que peux tu dire du signe de g ? Or g est définie comme une différence de deux valeurs, non ? Qu'en conclure ?

Pour b) tu recommence les mêmes étapes (tu construit la fonction g qui va bien, tu regarde sa dérivée, sa croissance, sa valeur en 0 et tu déduit ce qu'il faut)

c) reprends les questions précédentes et essaie...

bon courage

[lilize8850]

Merci du coup j'ai réussi les deux premières questions mais la c) reste un mystère ... :triste:

[lilize8850]

J'ai réussi à tout faire (merci beaucoup) mis à part que je ne voit pas comment toute cette démarche peut prouver que f est dérivable en 0 et que f'(0)=-1/2 ?

[Sylviel]

reprend la définition de la dérivée (avec le taux d'accroissement) en 0 et tu devrais voir des points communs...