Fonction logarithme

[George150]

Bonjour, j'ai un exercice à faire pour la rentrée mais je n'y arrive pas trop, pourriez-vous m'aider ?
Voici l'énoncé de l'exercice :

On considère la fonction f définie sur ]0; +[ par : f(x)= où a désigne un réel quelconque (sur mon livre c'est écrit comme ça mais je pense que c'est plutôt écrit de cette manière là
On appelle C la courbe représentative de f tracée dans un repère.
Le but de cet exercice est de montrer que pour toute valeur de a, la fonction f admet un maximum.
On étudiera ensuite le lieu des points où le maximum est atteint pour chaque valeur de a

1. Déterminer les limites de f en 0 et en +
2. Calculer f'(x)
3. Démontrer que pour tout réel a, la fonction fa admet un maximum pour une valeur de x que l'on calculera. On notera cette valeur x. Quelle est la valeur de y de ce maximum ?
4. Soit A (x;y). Exprimer y en fonction de x. Montrer que lorsque a varie, le point A appartient à la courbe représentative d'une fonction connue. Préciser laquelle.

Voici là où je bloque : on vient de commencer la fonction logarithme mais on a jamais fait de problème pour l'instant et je bloque sur la question 1 à cause du réel a qui me tracasse quelqu'un peut-il m'expliquer et aussi je voudrais savoir si a est comme une inconnue qui est définie sur aussi ]0; +[ a est toujours positif alors ?

Pour la 2 j'ai trouvé f'(x) =

[capitaine nuggets]

On considère la fonction définie sur par : où désigne un réel quelconque (sur mon livre c'est écrit comme ça mais je pense que c'est plutôt écrit de cette manière là

Oui, tu as raison.
Si ca n'avait pas été le cas, il aurait été écrit .

a est un paramètre réel ou une constante inconnue et non pas une variable.

Pour étudier les limites aux bornes du domaine de définition :
Si tu as des difficultés, considère et étudie :
;
;
;
.

:++:

bonne année :+++:

[George150]

Merci de ton aide capitaine nuggets tu m'as éclairci les idées. Donc pour le 1 j'obtiens :
+ = 0
(ln x + a)* = -

Est-ce que c'est bon pour le 2 au dessus ?
Pour le 3 je pense qu'il faut qu'on trouve que f'(x) = 0 ?

Bonne année à toi aussi :++:

[capitaine nuggets]

Merci de ton aide capitaine nuggets tu m'as éclairci les idées. Donc pour le 1 j'obtiens :
+ = 0
(ln x + a)* = -

Est-ce que c'est bon pour le 2 au dessus ?
Pour le 3 je pense qu'il faut qu'on trouve que f'(x) = 0 ?

Bonne année à toi aussi :++:

Pour le calcul de la dérivée, je ne trouve pas la même chose que toi.
Détaille tes calculs pour voir.

En effet, le maximum est solution de l'équation .

[George150]

Donc pour la dérivée de f(x), j'obtiens f(x) =
En fin de compte j'obtiens ça car j'avais trouvé l'autre résultat en prenant compte que a était une variable inconnue.
Après les problème pour le 3 c'est qu'il reste toujours le réel inconnue a
Est-ce que aussi mes limites sont corrects ?

[capitaine nuggets]

Attention :
est un paramètre réel ou une constante inconnue et non pas une variable.

Donc la dérivée de a vaut 0.
Par suite, la dérivé de est égal à la dérivée de + la dérivée de .
Or est une constante donc la dérivée de vaut .

:++:

[George150]

Attention :
est un paramètre réel ou une constante inconnue et non pas une variable.

Donc la dérivée de a vaut 0.
Par suite, la dérivé de est égal à la dérivée de + la dérivée de .
Or est une constante donc la dérivée de vaut .

:++:

Pardon j'avais complétement oublié la formule j'avais considéré le a comme v.
Sinon je trouve maintenant ce qui donne

[capitaine nuggets]

Pardon j'avais complétement oublié la formule j'avais considéré le a comme v.
Sinon je trouve maintenant ce qui donne

Je pense que c'est une erreur de frappe mais :
.

Donc, oui : .

[George150]

Je pense que c'est une erreur de frappe mais :
.

Donc, oui : .

J'ai complétement oublié le " ' " tout à l'heure. Sinon le problème c'est pour que trouver f'=0 j'ai l'habitude de la faire sur calculatrice mais le problème c'est qu'il y a le réel a qui bloque

[capitaine nuggets]

J'ai complétement oublié le " ' " tout à l'heure. Sinon le problème c'est pour que trouver f'=0 j'ai l'habitude de la faire sur calculatrice mais le problème c'est qu'il y a le réel a qui bloque

Et oui, il est embêtant ^^

si et seulement si .
En posant ), étudie les variations de .

[George150]

Et oui, il est embêtant ^^

si et seulement si .
En posant ), étudie les variations de .

Pour étudier les variations de g je la dévire ce qui donne g' = - il y a pas vraiment de truc pour faire des tableaux donc ça va être un peu moche
x | 0 +
signe de g' ||| (double barre) | -
variation de g ||| (double barre) | flèche vers le bas
Après je sais pas trop quoi faire ^^"
Edit : grosse faute

[capitaine nuggets]

On étudie sur le même domaine que : .

est strictement décroissante et continue sur .
Or et donc que peux-tu en déduire d'après le théorème des valeurs intermédiaires ?

[George150]

[quote="capitaine nuggets"]On étudie sur le même domaine que : .

est strictement décroissante et continue sur .
Or et et donc que peux-tu en déduire d'après le théorème des valeurs intermédiaires ?" Peux-tu m'expliquer d'où vient cette écriture ?

[capitaine nuggets]

[quote="George150"]Houlà j'ai vraiment pas compris comment tu es passé de cette écriture "Or et et et strictement décroissante, alors il existe un unique réel tel que .

[George150]

[quote="capitaine nuggets"]En faisant un dessin, tu pourras mieux comprendre, je pense.

Si tu as une fonction définie et continue sur un intervalle , telle que et et "

Edit : c'est bon en faite je vois comment tu t'y es pris.

[capitaine nuggets]

Oui j'ai déjà vu ça en cours mais j'ai surtout pas compris comment tu as à eu cette "Or et "

Hé bien, j'ai trouvé deux abscisses tels leurs images par soient de signes contraires.
;

Comme est continue sur cet intervalle donc intercepte l'axe des abscisse, c'est-à-dire, qu'il existe un réel tel que son image par vaut .

[George150]

K merci mais peux m'expliquer pourquoi tu as pris et e pour g(x) car je ne comprends pas trop pourquoi tu les a pris

[capitaine nuggets]

K merci mais peux m'expliquer pourquoi tu as pris et e pour g(x) car je ne comprends pas trop pourquoi tu les a pris

.

pour éliminer le terme constant et faire ainsi apparaître une image strictement positive : ;
pour éliminer le terme constant et faire ainsi apparaître une image strictement négative : ;

[George150]

.

pour éliminer le terme constant et faire ainsi apparaître une image strictement positive : ;
pour éliminer le terme constant et faire ainsi apparaître une image strictement négative : ;

On ne peut pas déterminer cette valeur par la calculatrice car ça risque d'être vraiment difficile ou bien faut t-il qu'on fait cas par cas ?

Edit : En faite je pense avoir trouver comment avoir 0. On prends comme g() et on a normalement 0, c'est ça ?

[capitaine nuggets]

Oui, ici, il y a très peu de chance qu'on trouve cette solution.
Le but, c'est de savoir qu'elle existe.