La fonction logarithme qui ne paie rien

[Galak]

Je cale sur un exercice et je sollicite votre aide.
Bonjour d'abord ! (j'avais oublié les formules de politesse)
Je voudrais, s'il en est possible, qu'une âme charitable m'aide dans un exercice pourtant assez bâteau (assez facile) sur lequel j'ai honte de ne pas réussir seul. Le bac blanc est dans quatre jours, je suis dans le caca, etc.

J'ai déjà bien entamé l'exercice en question dont je donne l'énoncé ci-dessous :

Exercice type Bac niveau bateau :

f est la fonction sur [0 ;+inf[ par :
f(x) = x^2 ln(x) si x>0 et f(0)=0.

1. Démontrez que f est continue et dérivable en 0.
(On ne peut plus basique ça, je vous indiquerai ce que j'ai mis et vous me confirmerez si c'est juste car normalement ça devrait l'être)

2. On a tracé ci-contre la courbe C représentative de f (ouais vous pouvez pas la voir mais en gros on voit que la courbe est continue, qu'elle est d'abord décroissante dans [0 ; A] puis ensuite croissante dans [A ; +inf[. Sur le graphique on voit également que f(0) est bien égal à 0 et que, apparemment, f(1) = 0, soit la courbe C est apparemment en-dessous de l'axe des abscisses sur [0 ; 1] et au-dessus sur [1 ; +inf[, voila voila)

a) En A, la courbe C admet un minimum. Quelles sont les coordonnées de A ?
(Celle-ci je l'ai faite aussi)

b) Démontrez qu'il existe deux tangentes à C passant par 0.
Précisez une équation de chacune de ces tangentes.
(Pour celle-ci, je crois savoir comment je dois partir, mais j'arrive pas à trouver la fin, mvoyez ?)

Here my answers :

1. f est dérivable en [0 ; +inf[ car produit de fonctions dérivables et blablabla donc f est continue sur [0 ; + inf[ et blablabla.
f'(x) = u'v + uv' (car forme u x v)
f'(x) = 2x ln(x) + x
f'(x) = x (2ln(x) + 1)

Etudions le signe de 2ln(x) + 1 : (il ne le demande pas dans l'énoncé mais osef étant donné que ça me sera utile après)

2ln(x) + 1 = 0
ln(x) = -1/2
ln(x) = (-1/2)(ln(e)) = ln(e)^-1/2 (écrire ça sur un clavier c'est ILLISIBLE QUOI ! o_o)
x = e^-1/2 = 1/(racine de e) (Je ne sais pas comment on écrit les racines sur clavier, JUST FUCK ALREADY!!)

2. a) Le résultat précédemment trouvé dans le 1. permet de déduire que la courbe C admet un minimum en A pour x = 1/(racine de e).
Trouvons maintenant son ordonné :
f(1/(racine de e)) = ............ OLALALAAA ! Avec le clavier ça me saoulez ! Je donne direct le résultat car je suis fainéant et parce que cet aprèm je dois faire du ski donc j'ai pas le temps, j'ai jamais le temps etc.
DONC f(1/(racine de e)) = - 1/2e. Après cinq transformations c'est ce que j'ai trouvé.

Les coordonnées de A sont : (1/(racine de e) ; - 1/2e).

b) (même si j'ai pas réussi je donne ce que j'ai tenté de faire)
L'équation d'une tangente s'écrit : y = f'(a) (x-a) + f(a)

Résolvons l'équation f'(a) (x-a) + f(a) = 0.
(ET LA C'EST LE DRAME ! J'ai l'impression que je vais droit dans le mur !)

Je développe l'expression, j'obtiens : xf'(a) - af'(a) + f(a) = 0

Maintenant, je remplace :
ax (2ln(a) + 1) - a^2 (2ln(a) + 1) + a^2 ln(a) = 0 (sous la forme ax + b = 0)
ax (2ln(a) + 1) = a^2 (2ln(a) + 1) - a^2 ln(a)

Je factorise l'expression en gras par a^2 :
ax (2ln(a) + 1) = a^2 [2ln(a) + 1 - ln(a)]

Je divise les deux expressions du dessus par (2ln(a) + 1) pour m'en débarrassez car il m'emmerde :
ax = a^2 [(-ln(a)) / (2ln(a) + 1)]
a = [a^2 (-ln(a)) / (2xln(a) + x)]

Or, a = a^2 (racine de a)
Donc (-ln(a)) / (2xln(a) + x) = racine de a
...
...
...
Je ne sais pas vous mais... je crois que je vais VRAIMENT droit dans le mur ! Je trouve des trucs bizarres, ça me fatigue, ça m'agace, ça m'énerve. Could you help me please ? I need some help.
: (
Pleeeeeaaaaaaaase !
Ma mère ne peut pas m'aider, elle est nulle en maths, mon père aussi.
Personne ne peut m'aider pour mes devoirs, personne ne m'aide jamais, je suis éternellement seul, je suis triste, mon père boit, j'ai eu une enfance malheureuse, etc.

[Manny06]

Je cale sur un exercice et je sollicite votre aide.
Bonjour d'abord ! (j'avais oublié les formules de politesse)
Je voudrais, s'il en est possible, qu'une âme charitable m'aide dans un exercice pourtant assez bâteau (assez facile) sur lequel j'ai honte de ne pas réussir seul. Le bac blanc est dans quatre jours, je suis dans le caca, etc.

J'ai déjà bien entamé l'exercice en question dont je donne l'énoncé ci-dessous :

Exercice type Bac niveau bateau :

f est la fonction sur [0 ;+inf[ par :
f(x) = x^2 ln(x) si x>0 et f(0)=0.

1. Démontrez que f est continue et dérivable en 0.
(On ne peut plus basique ça, je vous indiquerai ce que j'ai mis et vous me confirmerez si c'est juste car normalement ça devrait l'être)

2. On a tracé ci-contre la courbe C représentative de f (ouais vous pouvez pas la voir mais en gros on voit que la courbe est continue, qu'elle est d'abord décroissante dans [0 ; A] puis ensuite croissante dans [A ; +inf[. Sur le graphique on voit également que f(0) est bien égal à 0 et que, apparemment, f(1) = 0, soit la courbe C est apparemment en-dessous de l'axe des abscisses sur [0 ; 1] et au-dessus sur [1 ; +inf[, voila voila)

a) En A, la courbe C admet un minimum. Quelles sont les coordonnées de A ?
(Celle-ci je l'ai faite aussi)

b) Démontrez qu'il existe deux tangentes à C passant par 0.
Précisez une équation de chacune de ces tangentes.
(Pour celle-ci, je crois savoir comment je dois partir, mais j'arrive pas à trouver la fin, mvoyez ?)

Here my answers :

1. f est dérivable en [0 ; +inf[ car produit de fonctions dérivables et blablabla donc f est continue sur [0 ; + inf[ et blablabla.
f'(x) = u'v + uv' (car forme u x v)
f'(x) = 2x ln(x) + x
f'(x) = x (2ln(x) + 1)

Etudions le signe de 2ln(x) + 1 : (il ne le demande pas dans l'énoncé mais osef étant donné que ça me sera utile après)

2ln(x) + 1 = 0
ln(x) = -1/2
ln(x) = (-1/2)(ln(e)) = ln(e)^-1/2 (écrire ça sur un clavier c'est ILLISIBLE QUOI ! o_o)
x = e^-1/2 = 1/(racine de e) (Je ne sais pas comment on écrit les racines sur clavier, JUST FUCK ALREADY!!)

2. a) Le résultat précédemment trouvé dans le 1. permet de déduire que la courbe C admet un minimum en A pour x = 1/(racine de e).
Trouvons maintenant son ordonné :
f(1/(racine de e)) = ............ OLALALAAA ! Avec le clavier ça me saoulez ! Je donne direct le résultat car je suis fainéant et parce que cet aprèm je dois faire du ski donc j'ai pas le temps, j'ai jamais le temps etc.
DONC f(1/(racine de e)) = - 1/2e. Après cinq transformations c'est ce que j'ai trouvé.

Les coordonnées de A sont : (1/(racine de e) ; - 1/2e).

b) (même si j'ai pas réussi je donne ce que j'ai tenté de faire)
L'équation d'une tangente s'écrit : y = f'(a) (x-a) + f(a)

Résolvons l'équation f'(a) (x-a) + f(a) = 0.
(ET LA C'EST LE DRAME ! J'ai l'impression que je vais droit dans le mur !)

Je développe l'expression, j'obtiens : xf'(a) - af'(a) + f(a) = 0

Maintenant, je remplace :
ax (2ln(a) + 1) - a^2 (2ln(a) + 1) + a^2 ln(a) = 0 (sous la forme ax + b = 0)
ax (2ln(a) + 1) = a^2 (2ln(a) + 1) - a^2 ln(a)

Je factorise l'expression en gras par a^2 :
ax (2ln(a) + 1) = a^2 [2ln(a) + 1 - ln(a)]

Je divise les deux expressions du dessus par (2ln(a) + 1) pour m'en débarrassez car il m'emmerde :
ax = a^2 [(-ln(a)) / (2ln(a) + 1)]
a = [a^2 (-ln(a)) / (2xln(a) + x)]

Or, a = a^2 (racine de a)
Donc (-ln(a)) / (2xln(a) + x) = racine de a
...
...
...
Je ne sais pas vous mais... je crois que je vais VRAIMENT droit dans le mur ! Je trouve des trucs bizarres, ça me fatigue, ça m'agace, ça m'énerve. Could you help me please ? I need some help.
: (
Pleeeeeaaaaaaaase !
Ma mère ne peut pas m'aider, elle est nulle en maths, mon père aussi.
Personne ne peut m'aider pour mes devoirs, personne ne m'aide jamais, je suis éternellement seul, je suis triste, mon père boit, j'ai eu une enfance malheureuse, etc.

Au lieu de plaisanter refléchis avant de répondre
tu as simplement oublié que la fonction Ln est definie ,continue dérivable sur ]0;+infini[
or ici ta fonction est définie en 0
tu dois donc
1) étudier la continuité en 0
2)étudier la dérivabilité en 0

[ampholyte]

Bonjour,

2b) Tu peux simplifier grandement ton problème. Si les tangentes passent par 0 alors elles sont une équation de la forme y = ax

D'où

y = f'(a)(x - a) + f(a)
y = f'(a)x - af'(a) + f(a)

Or si la courbe pas par (0; 0) on a :

f(a) - af'(a) = 0


a² ln(a) - a(2a ln(a) + a) = 0

a² ln(a) - 2a² ln(a) - a² = 0

PS : La question est bizarrement formulée : On cherche donc deux tangentes passant par O (le point d'origine) c'est bien ça ?

[Galak]

Tu peux simplifier grandement ton problème. Si les tangentes passent par 0 alors elles sont une équation de la forme y = ax

Oui oui, tout simplement, comme dirait Manny.

Donc je suis d'accord sur le fait qu'on tombe sur ça :

a² ln(a) - 2a² ln(a) - a² = 0

Soit tout simplement encore :

- a² ln(a) - a² = 0

PS : La question est bizarrement formulée : On cherche donc deux tangentes passant par O (le point d'origine) c'est bien ça ?

Yes sir'. Donc on doit trouver deux solutions de a tel que - a² ln(a) - a² = 0.
Soit deux solutions tel que a² = - a² ln(a)
Il faut donc que je trouve deux solutions tel que ln(a) = ... -1 ?
Euh... ça se peut pas sachant que la fonction logarithme népérien est strictement monotone.
On va me dire réfléchis un peu ! o_o Mais là ça vient pas.

Sinon Manny, f'(0) ça donne 0. Mais ça, la dérivabilité en 0, je l'avais faite y a longtemps déjà. Et effectivement ça permet de trouver f(a) - af'(a) = 0.
Et ça m'énerve d'autant plus que je sais que l'exercice n'est pas si difficile que ça et que là j'ai l'impression de perdre toutes mes notions que j'estime acquises.

[ampholyte]

- a² ln(a) - a² = 0

a²(ln(a) + 1) = 0

Un produit de facteur est nul ssi l'un au moins des facteurs est nul : a = 0 ou

ln(a) + 1 = 0

ln(a) = - 1

ln(a) = -ln(e)

ln(a) = ln(1/e)

a = 1/e :zen:

Attention à la confusion

ln(-1) n'est pas défini ! en revanche ln(x) = -1 existe (si 0 < x < 1 => ln(x) < 0 :lol3: )

[Galak]

[quote="ampholyte"]- a² ln(a) - a² = 0

a²(ln(a) + 1) = 0

Un produit de facteur est nul ssi l'un au moins des facteurs est nul : a = 0 ou

ln(a) + 1 = 0

ln(a) = - 1

ln(a) = -ln(e)

ln(a) = ln(1/e)

a = 1/e :zen:

Attention à la confusion

ln(-1) n'est pas défini ! en revanche ln(x) = -1 existe (si 0 ln(x)
Tchus, etc.