Fonction irrationnelle

[xavier005]

Bonjour, est ce que quelqun pourait m'aider pour l' exercice suiavant svp.
Soit (Un) la suite definie par la donnee de u0 et la relation de recurrence Un+1= f(Un) ou f est la fonction definie sur R par f(x)=(racine cubique (avec le petit 3 avant la racine) de 3x+1)-1
1)Resoudre l'equation f(x)=x. En deduire les limtes possibles de la suite (Un).
ma reponse:
3x+1)^(1/3) - 1 = x
(3x+1)^(1/3)=x+1
3x+1 = (x+1)^3=x^3+3x²+3x+1
x^3+3x²=0
x²(x+3)=0
x=0 x=-3

2)On considere les intervalles I=]- infini;-3[, J=[-3;0[ et K=[0;+infini[
a) Etudier le sens de variation de f.
ma reponse:
f ' (x) = 1/((3x+1)^(2/3)) , donc la fonction f est strictement croisannte .

b)En deduire que si Uo appartient a I alors Un appartient a I pour tout n appartenent a N. Demontrer un resultat analogue pour les intervalles J et K.
C'est a cette question que je bloque

Veuillez m' aider svp
merci beaucoup

[Nicolas_75]

Bonjour,

2)a) Pour montrer la croissance, pas besoin de dériver !
f est la composée d'une fonction croissante et d'une autre fonction croissante. Donc elle est croissante.

2)b) f est croissante de ]-oo;-3[ dans ]-oo;f(-3)=-3[ donc on voit immédiatement que u(n) dans I => u(n+1) dans I.
Par récurrence, on en déduit que toute la suite u(n) est dans I si u(0) est dans I

Nicolas

[xavier005]

re,
mon prof a rajoute la question suivante :
Resoudre l' inequation f(x)> x . En deuire que (un) est croissante sur Uo<-3 et decroissante sinon.
J' ai resoulus l' inequation et je touve comme solution: S=]- infini;-3]
Mais je vois pas trop quoi en deduire
merci

[Nicolas_75]

xavier005, il va falloir faire un effort...
On te demande de montrer que u(n) est croissante.
Tu regardes donc !


si : f croissante

De même dans les autres cas.

Nicolas

[xavier005]

bonjour,
merci pour ton aide j' ai compris ,juste une derniere petite question:
comment on fait pour demontrer que quel que soit uo, la suite converge.
merci beaucoup