Fonction f inconnu a definir

[etienne33450]

J'ai un exercice asser important que j'aimerais reussir je vous donne l'ennonce
1. Soit f une fonction definie sur R vérifiant : pour tout réels x et y on a f(xy)=f(x) +f(y)
Montrer que f(0)= 0 (on prendra x=y=0) et que f est la fonction nulle

2.Soit f une fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+;)[, verifiant pour tout réels x et y de ]0,+;)[ , f(xy) =f(x) +f(y)
a) Montrer que : f(1) =0 (on prendra x=y=1)
b)Soit y un réel de ]0;+;)[ (y quelconque fixé)
On définit les fonctions h(x)=f(x) +f(y) et g(x)=f(xy)
Calculer h'(x) et g'(x)
En deduire que pour tout x de ]0;+;)[, yf'(xy) =f'(x)
c)En posant x=&, deduire de ce qui précède que : pour tout y de ]0;+;)[, f'(y) =f'(1)÷y = k÷y
en posant k= f'(1)

Merci de bien vouloir m'aider !!!

[Mortelune]

Bonjour qu'as-tu réussi à faire ?

[etienne33450]

Voila justement la question 1 me parait trop simple je pense qu'il doit y avoir un piege sinon j'ai reussi a faire les deriver de g(x) et de h(x) ..... De plus on nous a laisser une indiquation sur la conclution


Conclusion : Si f est un fonction définie et dérivable sur l'intervalle ]0;+l'infinie[ vérifiant pour tout réel x et y positif f(xy)=f(x)+ f(y) alors f(1)=0 et la derivée de f est la fonction y ->k ÷ y

[Mortelune]

La 1) en suivant l'indication on a facilement f(0)=0 et comme 0*x=0 pour tout x c'est fini, si tu as fait quelque chose de ce genre là c'est bon.

Pour la 2a) en suivant l'indication c'est aussi rapide que le début de la 1).
La 2b) tu as réussi apparemment.
Et pour finir avec la c) il suffit d'utiliser la question d'avant et l'indication.

[etienne33450]

dans la continuité de l'exercice je dois prouver réciproquement la conclusion de l'exercice
Soit k un réel et f un fonction définie et dérivable sur ]0; +l'infini[ telle que f(1)=0 et pour tout x de ]0; +l'infini[ f'(x) = k÷x

a) Soit y un réel de ÷ (y quelconque fixée)
Montrer que les fonctions f et g (g(x)=f(xy)) ont la même dérivée
b) En déduire qu'il existe un réel C tel que pour tout x de ]0; +l'infini[ , f(xy)=f(x) + C
c) Montrer que C = f(y)

[Mortelune]

Et tu as réussi à faire quoi ?

[etienne33450]

Comme on doit utiliser chaque reponse pour faire la quetion suivante et que je n'ai pas reussi la 1 j'ai pas trouver grand chose ^^

[Mortelune]

Tu connais g' puisque calculée avant, il suffit de calculer f' en utilisant la formule de dérivation d'une composée.

[etienne33450]

oui j'ai trouver mais comme j'ai pas le droit d'utiliser f(xy) = f(x) +f(y) je sais pas comment faire la b

[Mortelune]

Quand tu as une primitive (si tu as vu l'intégration) c'est à une constante près non ?

[etienne33450]

j'ai pas encore vu les primitive ....

[Mortelune]

On peut s'intéresser à quelque chose de plus perceptible alors.

La dérivée exprime la pente d'une droite en un point.

Si 2 droites ont la même dérivée en un point alors elles ont la même pente, et si elles ont la même dérivée partout alors elles ont la même pente partout.

Ce qui signifie aussi que la dérivée de leur différence est nulle, donc que leur différence est une constante.

Fin ça revient à ce que j'ai dit mais en utilisant seulement la notion de dérivée.