Fonction implicite

[Anonyme]

Bonjour,

Qu'est ce qui nous permet de calculer la dérivée d'une fonction implicite de la manière qu'on le fait ? En d'autre terme qu'est ce qui justifie les technique de calcul qu'on utilise ?

Par exemple :





La c'est facile de justifier ce qu'on a fait en passant par la forme explicite assez facile a trouver. Mais imaginons que la fonction ne peut pas rendue explicite dans ce cas la comment justifier ces règles de calculs ?

Merci

[Nightmare]

Salut,

Même si l'on peut pas expliciter y en fonction x, dans la plupart des cas, le théorème des fonctions implicites nous dit que y est quand même bien fonction de x localement, ce qui justifie en partie ce genre de calclu mais globalement, pour faire court, jusqu'à un certain niveau, on se contente de dire que ça "marche" en s'appuyant sur l'interprétation géométrique du vecteur vitesse/tangent. A un niveau plus élevé, en particulier quand on commence à faire de la géométrie différentielle, on essaye de donner plus de sens à ce genre de relations, en particulier en parlant de la notion de "différenciation"

[mathelot]

Bonjour,

Qu'est ce qui nous permet de calculer la dérivée d'une fonction implicite de la manière qu'on le fait ? En d'autre terme qu'est ce qui justifie les technique de calcul qu'on utilise ?

Bonjour,

il y a un mathématicien qui a dit: "il faut lire les démonstrations" !
Si tu regarde en détail le cours concernant les fonctions implicites,
("Cartan , Calcul différentiel, chez Hermann éditeur,1980", depuis d'autres publications), on construit un opérateur contractant ,on construit un voisinage du point et une fonction suffisamment dérivable,en utilisant le théorème du point fixe. Son graphe équivaut à vérifier l'équation implicite,ie

équivaut à dans un petit
voisinage ouvert du point de la courbe.
Les points peuvent appartenir à des espaces de Banach.

[Ben314]

Oui, oui, tout ça c'est bien beau, mais là ou il y a un truc qui m'échape, c'est qui la fonction qui dépend de quoi (et réciproquement) pour que la dérivée de x² donne 2x' ?

[Anonyme]

En effet Ben , il s'agit bien de x et pas de x' et c'est bien par rapport a x que je dérive.

Salut,

Même si l'on peut pas expliciter y en fonction x, dans la plupart des cas, le théorème des fonctions implicites nous dit que y est quand même bien fonction de x localement, ce qui justifie en partie ce genre de calclu mais globalement, pour faire court, jusqu'à un certain niveau, on se contente de dire que ça "marche" en s'appuyant sur l'interprétation géométrique du vecteur vitesse/tangent. A un niveau plus élevé, en particulier quand on commence à faire de la géométrie différentielle, on essaye de donner plus de sens à ce genre de relations, en particulier en parlant de la notion de "différenciation"

C'est a quel niveau que l'on justifiera le calcul de ces dérivée ? (Sup ? Spe ?)

Je dois donc me contraindre a appliquer la technique sans comprendre pourquoi ça marche pour le moment .

Merci pour tout ! :zen:

[Doraki]

Une manière de comprendre est de revenir à l'interprétation géométrique et de dire que au voisinage du point qui t'intéresse, le graphe de la courbe (x,y) -> z=f(x,y)=x²+y² ressemble localement à un plan.

C'est à dire que f(x+dx,y+dy) = f(x,y) + 2xdx+2ydy+dx²+dy², qui est environ égal à
f(x,y) + 2xdx + 2ydy : Donc en ignorant dx² et dy², quand x et y sont fixes et que dx et dy sont des variables qui varient autour de 0, c'est un plan.

Rien ne t'empêche alors de calculer des trucs comme l'équation du plan, l'intersection de ce plan avec le plan z=f(x,y), et la pente de la droite en question.

[Anonyme]

Maintenant que j'y pense:





....quelques lignes plus tard ....



Dans cette démonstration la fonction initialement était explicite on l'a rendu implicite puis on a dériver. As