Fonction homographique

[oga59]

Bonjour, voici le problème, pouvez-vous m'aider svp :
Virginie décide de partir en vacances. Lors des 200 premiers kilomètres du voyage elle emprunte l'autoroute, et sa vitesse moyenne est de 100 kilomètres par heure. On note x sa vitesse moyenne lors des 300 derniers kilomètres.

a) Combien de temps dure la première partie du voyage? Et la seconde partie ?

Pour la question petit a), la première partie du voyage dure 2 heures. Pour la 2ème partie du voyage: x km en 1H, donc 1/x H pour 1 km, et donc un temps de 300.1/x = 300/x H pour cette 2ème partie.

b)
Démontrer que la vitesse moyenne du voyage v est donnée par : v(x)=f(x)= 500x/(2x+300)

La vitesse moyenne pour tout le voyage est (200+300)/(2+300/x)=500x/(2x+300)=f(x)

c) Démontrer que f(x) est définie sur [0;200]
Df=R\{-150}
donc elle est définie sur [0;200]

d) Conjecturer graphiquement ou avec le tableau de valeur de la calculatrice pour quelle vitesse x réaliser sur les 300 dernières km la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est de 90km/h démontrer votre conjecture (j'arrive pas à conjecturer , merci pour votre aide)

Merci d'avance.

[Faraziel]

1) Tu sais faire un tableau de valeur sur ta calculatrice ? si oui.
2) Tu regarde le x qui va vérifier au mieux f(x) proche de 90.
3) tu conjecture ce x en le nommant x0 par exemple comme étant la vitesse moyenne sur la deuxième partie.
4) tu démontre par le calcul que le x qui vérifie f(x) = 90, est proche de ton x0. (Voir le même)

[oga59]

selon la calculatrice f(x) = 90 pour un x qui vaut 675/8
donc si sur les 300 dernier km il roule a 675/8 km/h alors sa vitesse moyen xo serais de 90km/h

démonstration: 500x/2x+300 = 90
x vaut 675/8 ( je n'est pas mis toute les étapes de mon calcul dsl)

[Faraziel]

Si toi tu les as, alors pas de problème. Et je suppose que tu as résolu l’équation avec ta calculatrice et non pas avec un tableur ?

[oga59]

non j'ai fait par calcul , ma conjecture est-elle correcte ?

ps: les autres questions sont t-elle bonne ?

[Faraziel]

Toute les autres question sont bonne, est le calcul aussi.
Cependant pour la question d), d'après l'énoncé tu doit trouver ou graphiquement, ou grâce au tableur une valeur x0, que tu vas conjecturé (le plus souvent on ce fais pas chier on prend la valeur entière qui donne le résultat le plus proche), en précisant la méthode utilisé. Et ensuite tu démontre par le calcul que cette valeur est la bonne ou du moins est proche de la valeur réelle.

Tu vois ce que je veux dire ?

[oga59]

j'ai utilisé le tableur de ma calculatrice et je constate que pour un x compris entre [80;90] f(x) était égale a 90 soit si il roule a une vitesse moyenne entre 80 et 90 km/h pendant les 300 dernier km alors la vitesse moyenne du parcourt totale sera egale a 90km/h

demonstration:
je resoud f(x)=90
soit 500x/(2x+300)=90
on trouve x=675/8 notre conjecture est donc bonne

[Faraziel]

Voilà c'est a peu près l'état d'esprit, bon après, l'intervalle [80;90], c'est un peu large, en générale, on tente de conjecturé entre deux entier consécutif. Mais l'état d'esprit est là donc c'est le principal ^^

[oga59]

Merci.
Néanmoins je rencontre un problème pour une autre question: il me dise de résoudre 500x/(2x+300)>70 mais c'est sur l'intervalle [0;200] et la valeur interdite est -150 donc je ne sait pas comment faire mon tableau, peux-tu me lancer ?

[Faraziel]

c'est une simple inéquation, cherche l'ensemble ou les ensembles solutions et fait une intersection avec l'intervalle [0;200].

[oga59]

j'ai trouvé comme solution s= ]175/3;200[

[Faraziel]

oui c'est ça.

edit : pardon, j'avais fait de tête, j'ai eu un bug de multiplication.

[oga59]

500x/(2x+300)>70
valeur interdite 2x+300=0
x=-150
500x/(2x+300)-70(2x+300)/(2x+300)>0
500x-140x-21000/(2x+300)>0
360x-21000/(2x+300)>0
360w-21000=0
360x=21000
x=21000/360=175/3

[Faraziel]

Oui oui je suis d'accord ^^
C'est moi, regarde j'ai modifier mon message précédant, mea culpa.

[oga59]

mais c'est bizarre car lorsque je trace la courbe sur geogebra, on voit qu'elle coupe l'axe des abscisse en (0;0) et non par x= 175/3 je ne comprend pas

et c'est ]175/3;200[ ou ]175/3;200] stp ?

[Faraziel]

Ouais c'est normal c'est f(x)- 70 qui va coupe en x= 175/3.