Fonction : généralités

[kabakas]

salut à tous !


soit f une fonction trinôme.
Montrer que :
si l'équation f(x)=x n'admet pas de solution
alors : l'équation f(f(x))=x n'admet pas de solution.


merci

[kabakas]

up

[Ben314]

Salut,
Si f(x)=x n'a pas de solution, ça signifie que l'équation du second degré f(x)-x=0 n'a pas de solution donc un discriminant strictement négatif ce qui signifie aussi que f(x)-x reste tout le temps "du signe de a" (*)
- Si a>0 on a donc f(x)-x>0 pour tout réel x, c'est à dire f(x)>x pour tout x.
et cela implique que f(f(x)) . . .
- Idem si a<0

(*) On peut utiliser d'autres arguments pour montrer que f(x)-x reste de signe constant.

[kabakas]

Salut,
Si f(x)=x n'a pas de solution, ça signifie que l'équation du second degré f(x)-x=0 n'a pas de solution donc un discriminant strictement négatif ce qui signifie aussi que f(x)-x reste tout le temps "du signe de a" (*)
- Si a>0 on a donc f(x)-x>0 pour tout réel x, c'est à dire f(x)>x pour tout x.
et cela implique que f(f(x)) . . .
- Idem si a<0

(*) On peut utiliser d'autres arguments pour montrer que f(x)-x reste de signe constant.

merci pour votre réponse
mais dans la cas où a>0 (çàd : f(x)>x)
si f est décroissante on aura : f(x)>x implique f(f(x))<f(x) !!!!

[Carpate]

mais dans la cas où a>0 (çàd : f(x)>x)
si f est décroissante on aura : f(x)>x implique f(f(x))<f(x) !!!!

Le signe de a n'a aucune importance
Si tu veux une réponse plus calculatoire :
n'a pas de racines sur R

L'expression entre crochets, somme de 2 termes positifs dont l'un n'est jamais nul, n'est jamais nulle sur R et f(x) est strictement positive ou négative selon le signe de a.

Même conclusion : f(f(x)) est strictement positive ou négative selon le signe de a

[Ben314]

Même conclusion : F(F(x)) est strictement positive ou négative selon le signe de a

Le "léger" problème, c'est que ta fonction F (que j'ai renommée vu que f existe déjà dans l'énoncé) elle est définie par F(x)=f(x)-x. Donc effectivement, les racines de F, c'est les solutions de f(x)=x.
Par contre, F(F(x))=f(F(x))-F(x)=f[f(x)-x]-f(x)+x et le fait que F(F(x)) reste de signe constant n'a aucun rapport avec la question posée concernant les éventuelles solutions de f(f(x))=x.

Bref, si tu part de alors effectivement, le fait que n'admet pas de solutions signifie que .
Mais ensuite l'équation c'est peut se factoriser [du fait que, si , ça implique que ], mais la factorisation est tout sauf triviale :

où le deuxième facteur a pour discriminant qui est <0 si on a.

[Carpate]

Ah oui, je me suis emmêlé les pinceaux avec mes notations !
Par contre si g(x) = ax^2+bx+c n'a pas de solutions réelles , g(g(x)) n'en a pas non plus

[kabakas]

où le deuxième facteur a pour discriminant qui est <0 si on a.[/quote]

mais comment avez-vous trouvé cette factorisation ??