Fonction exponentielle

[mathix]

Bonjour à tous, je bloque à une question d'un exercice.
Soit f la fonction définie par f(x)=e^x -x-1 et (C) sa courbe représentative.
La droite (D) y=-x-1 est asymptote à (C).

1. Ecrire en fonction de a une équation de la tangente (T) à (C) au point M d'absicesse a.
Celle ci j'ai réussi:
f(x)=e^x -x-1 f(a)=e^a -a-1
f '(x)=e^x -1 f '(a)=e^a -1
y=f '(a)(x-a)+f(a)
=(e^a -1)(x-a)+e^a -a-1
=xe^a -ae^a -x+a+e^a -a-1
=xe^a -ae^a -x+e^a -1
=e^a(x-a+1) -x-1

2. Cette tangente (T) coupe la droite (D) au point N d'abscisse b. Vérifier que b-a=-1
Je ne sait pas comment m'y prendre pour cette question, pourriez vous me donner des pistes.

3.En déduire une construction de la tangente (T) à (C) au point d'abscisse 1,5. On fera apparaitre le point N coresspondant.
Pour celle-ci il y a uniquement à tracer la courbe et les 2 points.

Merci d'avance pour votre aide.

[XENSECP]

N est le point d'intersection donc il appartient à T et à D ;)

[mathix]

Oui mais pour la question 2 il n'y a pas un calcul à faire pour retrouver -1 ?

[XENSECP]

tu as une équation yN = ... = ... et tu en déduis b-a=-1 ;)

[mathix]

On a y=-x-1 donc yN=-b-1.
Et après on résout -b-1=e^a(x-a+1) -x-1 ??
Mais là c'est l'exponentielle e^a qui me gêne je ne trouve pas de moyen la supprimer et retrouver -1.

[XENSECP]

dis moi que tu le fait exprès ?

écris l'équation qui dit que le point N(b,y) appartient à T et à D ? :)

[mathix]

Je pensais qu'il fallait faire -x-1=e^a(x-a+1) -x-1
Mais malgrès ton dernier message je ne comprend toujours pas ce qu'il faut faire.

[muse]

Je pensais qu'il fallait faire -x-1=e^a(x-a+1) -x-1
Mais malgrès ton dernier message je ne comprend toujours pas ce qu'il faut faire.

Ben pas tout a fait. Tu sais que l'abscisse du point d'intersection est b donc tu remplace x par b

-b-1=e^a(b-a+1) -b-1

[sporock]

On te dit que les 2 courbes se coupent en un point d' abscisse b
Ce point est donc de coordonnées (b;)
et comme ce point appartient aux 2 courbes, tu peux en conclure une egalité d' equation

[mathix]

Ok merci de votre aide j'ai donc résolu ça:
-b-1=e^a(b-a+1)-b-1
0=e^a(b-a+1)
Et là je dis que la fonction exponantielle est toujours positive? et on a
0=b-a+1 donc b-a=-1

Est ce que c'est ça ?

[muse]

tout a fait il ne faut surtout pas oublier de dire:
"la fonction exponantielle est toujours strictement positive"

Parfait

[mathix]

Merci pour votre aide.
Plus loin j'ai une question: en déduire pour tout entier naturel non nul n, les inégalités suivantes:
(1) e^(1/n)>=1+(1/n) (2) e^(-1/(n+1))>=1-(1/(n+1)

pour la 1:
on a f(x)=e^x -x-1
on résout e^x -x-1>=0
e^x>=x+1
e^n>=n+1
e^(1/n)>=(1/n)+1

pour la 2:
on a f(x)=e^x -x-1
on résout e^x -x-1>=0
e^x>=x+1
e^(-1/(n+1))>=1-(1/(n+1)

Est ce qu'il faut procéder comme ceci ?