Fonction exponentielle

[jonas18]

Bonjour,
J'ai un gros DM qui reprend particulièrement le chapitre sur le fonction exp et je ne suis pas sûr du tout d'avoir tout compris.

Voici l'énoncé :
Soit la fonction f définie sur R par f(x) = e^2x-3e^x+x+2 et C sa courbe représentative dans le plan.
1)a) Déterminez la limite de f(x) quand x tend vers -inf
b) Démontrer que la droite D d'équation y = x+2 est asymptote à C.
c) Etudiez les positions relatives de la courbe C et de la droite D.

2)Vérifier que pour tout x, f(x) = e^x(e^x-3+x/e^x+2/e^x)
En déduire la limite de f(x) quand x tend vers +inf

3)a) Calculer f'(x).
b)Vérifiez que f'(x) = (2e^x-1)(e^x-1).

Pour moi :
1)a) lim quand x tend vers -inf :
2x = -inf ; e^X=0 ; -3=-3 ; x=-inf ; 2=2
Ce qui me donne ce calcul : 0-3*0-inf+2 donc lim = -inf
b) f(x)-y= e^2x-3e^x+x+2-(x+2)= e^2x-3e^x=0-3*0=0
Donc la droite D est asymptote à C en -inf.

Je n'ai pas compris les questions 1)c) et 2)

3) f'(x) = 2e^2x-3e^x+1

Pouvez-vous me dire si mes réponses sont bonnes et m'aidez à comprendre les autres exercices ?
Je m'excuse de vous en demander autant mais les fonctions et moi, ça fait deux.

[laetidom]

Salut,

1c) étudier le signe de la différence entre la courbe C et la droite D sur le Df :

si C - D > 0 alors C > D d'où C au-dessus de D sur tel intervalle,

si C - D < 0 alors C < D d'où C au-dessous de D sur tel intervalle,

[Black Jack]

1a)

lim(x--> -oo) f(x) = lim(x--> -oo) e^(2x) - 3.lim(x--> -oo) e^x + lim(x--> -oo) x + 2 = -oo

1b)
lim(x--> -oo) [f(x - (x+2)] = lim(x--> -oo) [e^(2x)-3e^x] = 0 et donc la droite D d'équation y = x + 2 est asymptote oblique en -oo à la courbe représentant f(x)

1c)
Il faut étudier le signe de g(x) = f(x) - (x+2) = e^(2x)-3e^x

Pour les intervalles de x pour lesquels g(x) > 0, C est au dessus de D
Pour les intervalles de x pour lesquels g(x) < 0, C est en dessous de D

...

*********
2)
f(x) = e^(2x) - 3e^x + x + 2
f(x) = e^x * (e^x - 3 + x/e^x + 2/e^x)

lim(x--> +oo) f(x) = lim(x--> +oo) e^x * lim(x--> +oo) [(e^x - 3 + x/e^x + 2/e^x)] = (+oo) * (+oo) = +oo
*********
3)

f'(x) = 2e^2x-3e^x+1 (OK)

f'(x) = 2e^2x-2e^x - e^x+1
f'(x) = 2.e^(x).(e^x - 1) - (e^x - 1)
f'(x) = (e^x - 1) * (2.e^x - 1)
*********

[jonas18]

Merci beaucoup pour vos corrections, ça m'aide énormément.
J'aimerais juste une petite clarification sur le 1)c), je ne trouve pas la valeur pour laquelle g(x)=0 ; ça ne tombe jamais juste pour moi.

Je ne veux pas abuser mais je me rends compte que j'ai oublié une question :
Calculer f'(x)=0 puis déterminez le signe de f'(x).

J'ai résolu l'équation en changeant l'inconnue avec t=e^x.
Je trouve t=1/2 et t=1
Donc, x= 0 ou -ln2.

Mais pour déterminer le signe, j'ai un doute. Je prends les valeurs de t ou de x ?

Merci d'avance pour votre aide.

[laetidom]

Merci beaucoup pour vos corrections, ça m'aide énormément. ===> Super !
J'aimerais juste une petite clarification sur le 1)c), je ne trouve pas la valeur pour laquelle g(x)=0 ; ça ne tombe jamais juste pour moi.

Je ne veux pas abuser ===> Pas de soucis !

Bonjour,

si x> ln3 alors > 0

si x< ln3 alors < 0

non ?

graphe de la différence "C - D" :


confirmé sur le
graphe de C et D :


Bonne journée.

[jonas18]

C'est vraiment très gentil de prendre autant de temps pour me répondre.
En plus avec vos schémas, c'est vraiment simple à comprendre.

Si je n'abuse pas, pouvez-vous lever mon doute sur ma dernière question ?

Merci d'avance.

[laetidom]

C'est vraiment très gentil de prendre autant de temps pour me répondre.
En plus avec vos schémas, c'est vraiment simple à comprendre. ===> Merci beaucoup !

Si je n'abuse pas, pouvez-vous lever mon doute sur ma dernière question ? ==> quel n° de question ?

Merci d'avance.

[jonas18]

Celle de mon dernier message :

Calculer f'(x)=0 puis déterminez le signe de f'(x).

J'ai résolu l'équation en changeant l'inconnue avec t=e^x.
Je trouve t=1/2 et t=1
Donc, x= 0 ou -ln2.

Mais pour déterminer le signe, j'ai un doute. Je prends les valeurs de t ou de x ?

Merci d'avance pour votre aide.

[laetidom]

de toute manière tu arrives au même résultat : polynôme du second degré :
du signe de "a" (=2) à l'extérieur des racines !
et " - a " entre les racines . . .

[jonas18]

Oui, je suis d'accord mais il faut que je détermine le signe afin de faire le tableau de variations.
C'est pourquoi, pour les intervalles, j'aimerais savoir si j'utilise 1/2 et 1 ou bien -ln2 et 0.

Merci d'avance.

[laetidom]

Salut,

t correspond à un changement de variable permettant de résoudre, c'est un calcul intermédiaire,
pour le tableau on prend les résultats finaux !

[jonas18]

C'était ce que je pensais mais j'avais un gros doute.
En tout cas je vous remercie de vos réponses et du fait que vous ayez confirmé mes résultats (surtout les premiers exercices sur les limites (je n'étais pas sûr car je ne suis pas tombé sur une forme indéterminée et vu que c'est ce qu'on a vu en cours, j'étais étonné), ça m'a beaucoup apporté.
Encore merci de toute la patience dont vous avez fait preuve avec moi.

[laetidom]

C'était ce que je pensais mais j'avais un gros doute.
En tout cas je vous remercie de vos réponses et du fait que vous ayez confirmé mes résultats (surtout les premiers exercices sur les limites (je n'étais pas sûr car je ne suis pas tombé sur une forme indéterminée et vu que c'est ce qu'on a vu en cours, j'étais étonné), ça m'a beaucoup apporté.
Encore merci de toute la patience dont vous avez fait preuve avec moi.

Je t'en prie, c'est avec plaisir que nous avons essayé de t'aider, contents d'avoir été utile, bon courage pour la suite, @+ sur le forum !