Fonction exponentielle

par **Mavie16** » 14 Déc 2015, 20:01

Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire mais je reste bloquée à quelque question qui m'empêche de poursuivre.. Si quelqu'un peut m'aider, ça serait gentil.

Voici l'énoncé:
PARTIE 1: on note la fonction f définie sur R par f(x)=x-e^-x
a) Déterminer les limites en + et - l'infini
b) Calculer f'(x)
c) En déduire le tableau de variation complet de la fonction f
d) Montrer que l'équation f(x)=0 possède une unique solution sur R, notée alpha
e) Donner un encadrement de alpha d'amplitude 10^-1
f) Montrer que f(x)<0 sur l'intervalle [0; alpha]

PARTIE 2: on note g la fonction définie sur [0;1] par g(x)=(1+x)/(1+e^x)
1) Calculer g'(x)
2) a) Démontrer que f(x)<0 si et seulement si 1-xe^x>0
b) E déduire le tableau de variation de g sur [0; alpha]
3) Démontrer que f'(x)=0 si et seulement si g(x)=x
4) En déduire que alpha est l'unique réel de [0;1] vérifiant g(alpha)=alpha

Voici ce que j'ai fait:
PARTIE 1:
1a) limite en + infini -> + infini
limite en -infini -> - infini
b) f'(x)=e^-x(-1+x)
c) La fonction est croissante sur R (d'après le tableau de variation que je ne sais pas refaire sur le forum)
d) j'ai utilisé le corollaire du TVI
e) f(0.5) f) je ne sais pas comment faire, je n'ai pas compris

PARTIE 2:
1) g'(x)=(1-xe^x)/(1+e^x)²
2) Je pense que ça découle de la question f de la partie 1 mais je ne l'ai pas réussie..

Si quelqu'un peu m'aider... Merci d'avance!

par **siger** » 14 Déc 2015, 20:08

bonsoir

quelle est la fonction?
f(x) = x - e^(-x) comme tu l'as ecrit
ou f(x) = x* e^(-x) comme le suggere ta derivee

par **Pierrot73** » 14 Déc 2015, 20:13

Mavie16 a écrit:Bonjour, j'ai un exercice de maths à faire mais je reste bloquée à quelque question qui m'empêche de poursuivre.. Si quelqu'un peut m'aider, ça serait gentil.

Voici l'énoncé:
PARTIE 1: on note la fonction f définie sur R par f(x)=x-e^-x
a) Déterminer les limites en + et - l'infini
b) Calculer f'(x)

Voici ce que j'ai fait :
1a) limite en + infini -> + infini
limite en -infini -> - infini
b) f'(x)=e^-x(-1+x)

Bonsoir,

ta fonction f est celle-ci :

ou celle-ci :

D'après tes limites, il s'agit de la première, mais d'après ta dérivée il s'agit de la seconde.

[Edit] : siger, il va falloir qu'on mette en place un système pour éviter les double posts :ptdr:

par **Mavie16** » 14 Déc 2015, 21:17

La fonction est f(x)=x - e^-x

par **Pierrot73** » 14 Déc 2015, 21:19

Mavie16 a écrit:La fonction est f(x)=x - e^-x

OK, donc tes limites sont bonnes, mais pas ta dérivée. Comment l'as-tu calculé ?

par **Mavie16** » 15 Déc 2015, 20:23

La dérivé de x c'est 1, et la dérivée de -e^-x c'est e^-x donc la formule de la dérivée d'une somme c'est:
f(x)=u'v+uv'
f(x)=1(-e^-x)+x(e^-x)
f(x)=-e^-x+xe^-x

Nan?!

par **annick** » 15 Déc 2015, 20:44

Bonjour,

tu appliques la formule de la dérivée d'un produit alors qu'ici, il s'agit d'une somme.

Donc :

f(x)=u(x)+v(x)
f'(x)=u'(x)+v'(x)

par **Mavie16** » 16 Déc 2015, 16:29

Alors la dérivée est: f(x)=1-e^-x ?!

par **Carpate** » 16 Déc 2015, 16:38

Mavie16 a écrit:Alors la dérivée est: f(x)=1-e^-x ?!

Erreur de signe

par **Mavie16** » 16 Déc 2015, 17:17

Ah je pense avoir trouvé: La dérivée de -e^-x c'est e^-x donc f'(x)=1+e^-x ?!

par **Pierrot73** » 16 Déc 2015, 17:19

Mavie16 a écrit:Ah je pense avoir trouvé: La dérivée de -e^-x c'est e^-x donc f'(x)=1+e^-x ?!

Oui tout à fait !

par **Mavie16** » 16 Déc 2015, 17:44

Pour la question c, d et e d la partie 1, est-ce que c'est juste malgré l'erreur au niveau la dérivée ?!

par **Pierrot73** » 16 Déc 2015, 21:36

Mavie16 a écrit:Pour la question c, d et e d la partie 1, est-ce que c'est juste malgré l'erreur au niveau la dérivée ?!

Question c) Tu avais juste mais parce que tu avais fait une seconde erreur qui a compensé la première. La fonction f est bien strictement croissante du R car sa dérivée est strictement positive (ce qui n'était pas le cas avec ta dérivée).

Question d). OK

Question e). OK

Question f). Montrer que f(x)<0 sur l'intervalle [0; alpha]. Tu as montré avec la question c) que f est strictement croissante ; tu sais aussi qu'elle coupe l'axe des abscisses une seule fois, pour x = alpha. Que peux-tu en déduire sur le signe de f ?

PARTIE 2 :

Question 1). OK

Question 2.a). Piste : mettre -e^(x) en facteur dans 1-x*e^x.

par **Mavie16** » 16 Déc 2015, 22:09

D'accord pour les questions c)d) et e)
Pour la f): je peux dire que le signe de f est positif

Partie 2) question 2)a):
e^x(1-x) >0
<=> e^x>0
Et on sait qu'une exponentielle est toujours positive. Donc 1-x*e^x>0 et f(x) est croissante sur R

par **Pierrot73** » 16 Déc 2015, 22:20

Mavie16 a écrit:D'accord pour les questions c)d) et e)
Pour la f): je peux dire que le signe de f est positif

Non tu ne peux pas dire cela. Ta fonction est strictement croissante, et elle coupe l'axe des x en alpha. Donc f change de signe pour cette valeur. Le signe de f n'est donc pas constant sur R. A toi de trouver quand est-ce qu'il est positif et négatif.

Mavie16 a écrit:Partie 2) question 2)a):
e^x(1-x) >0
e^x>0
Et on sait qu'une exponentielle est toujours positive. Donc 1-x*e^x>0 et f(x) est croissante sur R

Si on redéveloppe e^x(1-x), on arrive sur e^x-x*e^x, ce qui est différent de 1-x*e^x. Il y a donc une erreur dans la mise en facteur.
Tu pars de l'expression 1-x*e^x. Si tu mets e^x en facteur, que se passe-t-il pour 1 ?
Je te conseille de mettre -e^x en facteur, ce sera plus facile pour la suite ;-)

Mavie16 a écrit:e^x(1-x) >0 e^x>0

C'est l'inverse : si e^x(1-x) >0, alors (1-x) >0 puisqu'on sait que pour tout x de R, e^x>0

par **Mavie16** » 16 Déc 2015, 22:38

En effet, j'ai confondu avec la variation..
Je résous l'inéquation: 1+e^-x>0 qui donne e^-x>-1. le signe de f est donc négatif sur ]-infini;-1[ puis positif sur ]-1;+infini[ ? Mais alpha=(environ)0.6... Donc ça ne fonctionne pas

Question 2)a):
-e^x(x-1/e^x) ?? (Excusez j'ai du mal avec la factorisation..)

par **Lostounet** » 17 Déc 2015, 01:23

La fonction exp est à valeurs strictement positives. Cela veut dire que exp(nimportequoi) > 0 toujours

donc exp(nimporte quoi) >-1 peu importe ce que tu mets dedans... !

Cela veut dire que quel que soit x, exp(-x) >-1 et donc f'>0
donc f croissante

par **Pierrot73** » 17 Déc 2015, 09:17

Mavie16 a écrit:En effet, j'ai confondu avec la variation..
Je résous l'inéquation: 1+e^-x>0 qui donne e^-x>-1. le signe de f est donc négatif sur ]-infini;-1[ puis positif sur ]-1;+infini[ ? Mais alpha=(environ)0.6... Donc ça ne fonctionne pas

Attention, on te demande le signe de f. Avec l'inéquation 1+e^-x>0, tu pars sur le signe de f', or tu as trouvé quelques questions avant que f'>0 sur R (cf. le post de Lostounet).

Pas besoin de résoudre d'inéquation pour trouver la réponse à cette question. Si on résume ce que tu sais grâce aux questions précédentes :
1. f est strictement croissante
2. f coupe l'axe des x en alpha ; f est donc négative avant alpha et positive après alpha.
On te demande le signe de f sur l'intervalle [0, alpha]. Calcule juste f(0) et conclus.

Mavie16 a écrit:Question 2)a):
-e^x(x-1/e^x) ?? (Excusez j'ai du mal avec la factorisation..)

Oui c'est la bonne forme. Remarque maintenant que -e^x(x-1/e^x) = -e^x(x-e^(-x)).
x-e^(-x) ne te rappelle rien ?

par **Mavie16** » 17 Déc 2015, 21:56

D'accord pour la question f, je trouve f(0)=-1. Donc -1<0 d'où f(x)<0 ?

Pour la 2)a) ça fait : -e^x(f(x)) et que d'après la question f, on sait que f(x) <0 sur [0;aloha] donc si f(x)<0 on a 1-xe^x<0 ?!

par **Pierrot73** » 18 Déc 2015, 09:24

[quote="Mavie16"]D'accord pour la question f, je trouve f(0)=-1. Donc -1 0 sur R. Donc 1-xe^x > 0 ssi -f(x) > 0, soit f(x) < 0

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