Fonction exponentielle et suite TS

[Pierre4]

Bonjour,
j'ai un exercice que je trouve assez complexe pourriez-vous m'aiguiller un peu?
Voici tout d'abord l'énoncé:

On injecte une dose d'une substance dans le sang à t=0 (t en heures)
On note Q(t) la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t , exprimée en unités adaptées.A l'instant t=0, on injecte une dose de 1,8 unité.
On suppose que la substance se répartit instantanément dans le sang et qu'elle est ensuite progressivement éliminée.On admet que le processus d'élimination peut se présenter mathématiquement par l'équation: Q'(t)=-[smb]lambda[/smb]Q(t) où est [smb]lambda[/smb] un nombre à déterminer.

1)Montrer que Q(t)=1,8e^(-[smb]lambda[/smb]t)
Montrer que l'équation 0.7=e^(-[smb]lambda[/smb]) admet une solution unique dont on donnera une valeur appochée.En déduire la valeur approchée à 10^-4 près de [smb]lambda[/smb], sachant qu'au bout d'une heure la quantité de substance présente dans le sang a diminué de 30%.

2)Etudier le sens de variation de Q pour t>0

3)Donner une valeur décimale à 10^-2 du temps au bout duquel la quantité de substance à diminué de moitié.

4)On décide de réinjecter une dose analogue à l'instant :t=1(au bout d'une heure) puis aux instants t=2; t=3 ; etc.....
On note Rn la quantité de substance présente dans le sang à l'instant t=n, dès que la nouvelle injection est faite.
a)Montrer que R1=1.8+0.7*1.8
b)soit (Un) la suite définie par Un=Rn-6
Montrer que c'est une suite géométrique
En déduire que Un est une fonction de n puis établir que pour tout entier naturel n on a , Rn=6(1-0.7^(n+1))
c) Determiner la limite de Rn quand n tend vers l'infini

Alors pour la question 1) je sais pas comment prouver mais je sais démontrer qu'il existe une solution pour 0.7=e^(-[smb]lambda[/smb]).

0.7=e^(-[smb]lambda[/smb])
0=e^(-[smb]lambda[/smb])-0.7
Soit f(x)=e^(-[smb]lambda[/smb])-0.7
f'(x)=-[smb]lambda[/smb]e^(-[smb]lambda[/smb])
fonction dérivable >>>continue
elle est décroissante
et les limites en 0 et + sont opposées donc il existe une seule solution(théorème de la bijection).
Comme valeur approchée j'ai =-0.35
mais je comprends pas pourquoi on demande 2fois l'approximation.

2)Q(t)=1,8e^(-[smb]lambda[/smb]t)
Q'(t)=-[smb]lambda[/smb]Q(t)
t>0 [smb]lambda[/smb]0
La fonction est donc croissante(je pense pas que ce soit le bon résultat mais c'est ce que j'ai trouvé.En effet je pense que la fonction est décroissante vu que la quantité diminue au cours du temps)

Après je n'y arrive pas trop comment continuer à partir de la 3)
pour la 4.c lim Rn en + [smb]infini[/smb] =6 car
lim7^(n+1)=0

Je vous remercie d'avance pour votre aide.

[Sa Majesté]

1)Montrer que Q(t)=1,8e^(-[smb]lambda[/smb]t)
Il suffit de montrer que :
a) Q'(t)=-[smb]lambda[/smb]Q(t)
b) Q(0)=1,8

0.7=e^(-[smb]lambda[/smb])
0=e^(-[smb]lambda[/smb])-0.7
Soit f(x)=e^(-[smb]lambda[/smb])-0.7
f'(x)=-[smb]lambda[/smb]e^(-[smb]lambda[/smb])
fonction dérivable >>>continue
elle est décroissante
et les limites en 0 et + sont opposées donc il existe une seule solution(théorème de la bijection).

Oui mais c'est f(lambda) et pas f(x)

Comme valeur approchée j'ai =-0.35

Non c'est +0.3567

mais je comprends pas pourquoi on demande 2fois l'approximation.

On ne la demande pas 2 fois
Il faut expliquer que pourquoi on aboutit à l'équation que tu viens de résoudre

t>0 [smb]lambda[/smb]0
La fonction est donc croissante(je pense pas que ce soit le bon résultat mais c'est ce que j'ai trouvé.En effet je pense que la fonction est décroissante vu que la quantité diminue au cours du temps)

[smb]lambda[/smb]>0 donc la fonction est décroissante

3) Il faut trouver t1 tel que Q(t1)=0.5*1.8 (avec la valeur de lambda que tu as trouvée)