Fonction exponentielle, problème ouvert

[experience]

Bonjour à tous,
Ça fait quelques jours que j'essaye de résoudre ce problème pour la rentrée, sans succès, j'espère que vous pourriez m'aider (dans le problème e^x correspond à exponentielle de x):

Soit f une fonction de la forme x;)a(x)e^x ou x;)b(x)e^-x où a et b sont des fonctions dérivables non nulles à déterminer.
Soit C la courbe représentative d'une de ces courbes, A un point quelconque de C.
La tangente en A à cette courbe coupe l'axe Ox en B et le point D est le projeté orthogonal de A sur Ox.
Quelles sont les fonctions de f telles que BD=1

Merci d'avance pour vos réponses

[siger]

Bonjour,

Qu'as-tu fait?
commece par calculer pour une fonction donnée (a*e^x ou b*e^-x) les coordonnees du point B .......

[experience]

Pour ma part, j'étais parti sur le fait que BD différent de DB (pas sur que ce soit vrai) et donc que D>B car DB=1
Et donc pour que D soit supérieur à B la courbe est soit positive croissante soit négative décroissante j'ai fait ça sans savoir où ça allait me mener et je bloque je trouve pas d'autres issues.

Pour revenir à ce que tu m'a dit je ne vois pas bien comment je pourrais calculer les coordonnées de B ?

[siger]

RE

Pas sur qu'il faille faire une hypothese sur le sens de BD!

L'equation de la tangente en A a la courbe f(x) est de la forme
y = f'(xA)*(x-xA) + f(xA)
et f'(xA)*(xB-xA) + f(xA) = 0 puisque B est sur l'axe des x,
comme xD = xA on a BD = xB -xA et
(xB - xA )= -f(xA) /f'(xA)
il suffit maintenant de choisir f(x) = a(x) e^x ou b.....

[experience]

D'accord je comprends, peut on dire que si BD=1 alors f'(xA) +f(xA)=0
Soit f (x)=-f'(x) ;) f (x) = -(a'(x)+a(x))e^x

[siger]

re

Sauf erreur, on obtient donc selon le sens de BD (signe de xD-xB)
soit f'(x) = f(x) d'ou (a'(x)+a(x)) e^x = a(x)*e^x et a(x) est une constante
soit f'(x) = -f(x) d'ou (a'(x)+a(x)) e^x =- a(x)*e^x
et
a'(x) + 2a(x) = 0........

meme raisonnement pour b(x) e^(-x)
.....

[experience]

J'obtiens donc a'(x)+2a (x)=0 soit a (x)=-a'(x)/2
Ou bien b'(x)-2b (x)=0 soit b (x)=b'(x)/2
Est ce c'est ce qu'il faut trouver?

[siger]

re

non, on te demande a et b
il faut resoudre les equations differntielles a'(x)+2a(x)= 0 et b'(x).....

[experience]

C'est ce que je voulais faire au début mais je ne vois pas comment je pourrais résoudre ces équations?

[siger]

re

est-ce-que tu as vu les equations differentielles du premier ordre du type
y' + ky= 0 ?
qui conduit y(x) =C*e^(-kx)

[experience]

Non, c'est étonnant qu'ils nous donnent ce genre d'équation à faire