TS fonction exponentielle et démo

[love-animo]

Bonjour,
je suis bloquée sur un exercice, merci à ceux qui pourront m'aider.

On considère la fonction f définie sue [0;1] par f(x): (exp(x)-1)/(exp(x)-x)
1.a) démontrer que pour tout x de [0;1] f'(x)= h/(exp(x)-x)² ou h est une fonction que l'on déterminera
b) étudier les variations de h sur [0;1] et en déduire celles de f
J'ai fais les questions précédentes, je bloque ici :
c)démontrer que pour tout x de [0;1], f(x) E [0;1]
2.On note D la droite d'équation y=x
a) démontrer que pour tout x de [0;1], f(x)-x=[(1-x)*g(x)]/(exp(x)-x)
b) en déduire la position relative de Cf(courbe représentative de la fonction f) et D sur [0;1]

Merci pour votre aide

[titine]

Bonjour,
je suis bloquée sur un exercice, merci à ceux qui pourront m'aider.

On considère la fonction f définie sue [0;1] par f(x): (exp(x)-1)/(exp(x)-x)
1.a) démontrer que pour tout x de [0;1] f'(x)= h/(exp(x)-x)² ou h est une fonction que l'on déterminera

Calcule f'(x) avec (u/v)' = (u'v - uv')/v²

[Carpate]

Bonjour,
je suis bloquée sur un exercice, merci à ceux qui pourront m'aider.

On considère la fonction f définie sue [0;1] par f(x): (exp(x)-1)/(exp(x)-x)
1.a) démontrer que pour tout x de [0;1] f'(x)= h/(exp(x)-x)² ou h est une fonction que l'on déterminera
b) étudier les variations de h sur [0;1] et en déduire celles de f
J'ai fais les questions précédentes, je bloque ici :
c)démontrer que pour tout x de [0;1], f(x) E [0;1]
2.On note D la droite d'équation y=x
a) démontrer que pour tout x de [0;1], f(x)-x=[(1-x)*g(x)]/(exp(x)-x)
b) en déduire la position relative de Cf(courbe représentative de la fonction f) et D sur [0;1]

Merci pour votre aide

Que trouves-tu pour h(x) ?

[love-animo]

je trouve h(x) = exp(x)*(-x-1)

[titine]

je trouve h(x) = exp(x)*(-x-1)

Pas d'accord.
Détaille ton calcul.

[love-animo]

f(x)= u/v
f'(x)=(vu'-v'u)/v²
f'(x)=[(exp(x)-x)*exp(x)-exp(x)(exp(x)-1)]/(exp(x)-x)²
=[exp(x)²-x*exp(x)-exp(x)²-exp(x)]/(exp(x)-x)²
=[exp(x)*(-x-1)]/(exp(x)-x)²
Donc h(x)=exp(x)*(-x-1)

[Carpate]

f(x)= u/v
f'(x)=(vu'-v'u)/v²
f'(x)=[(exp(x)-x)*exp(x)-exp(x)(exp(x)-1)]/(exp(x)-x)²
=[exp(x)²-x*exp(x)-exp(x)²-exp(x)]/(exp(x)-x)²
=[exp(x)*(-x-1)]/(exp(x)-x)²
Donc h(x)=exp(x)*(-x-1)

[titine]

f(x)= u/v
f'(x)=(vu'-v'u)/v²
f'(x)=[(exp(x)-x)*exp(x)-(exp(x)-1)(exp(x)-1)]/(exp(x)-x)²
=[exp(x)²-x*exp(x)-exp(x)²-exp(x)]/(exp(x)-x)²
=[exp(x)*(-x-1)]/(exp(x)-x)²
Donc h(x)=exp(x)*(-x-1)

u(x) = exp(x)-1
u'(x) = exp(x)
v(x) = exp(x)-x
v'(x) = exp(x)-1

[love-animo]

ha oui ! j'ai pas fais attention, merci

[Carpate]

comment a tu trouvé ça ?
ça veut dire que la dérivée de exp(x)-1 c'est exp(x)-1 ?

Et si tu refaisais calmement ton calcul avec papier et crayon et non sur écran ?

[love-animo]

oui, c'est ce que je fais

[Carpate]

oui, c'est ce que je fais

Et donc tu trouves h(x) = ...

[love-animo]

h(x)= -x*exp(x)+2exp(x)-1 ?

[Carpate]

h(x)= -x*exp(x)+2exp(x)-1 ?

Oui, qui est du signe de
Pour déterminer le signe de f', il va falloir étudier les variations de h(x) sur [0;1] et calculer h'(x), etc

[love-animo]

j'ai trouvé h'(x)=exp(x)*(1-x)
sur [0;1] h' est positif, donc h et f sont croissants
c'est bien ça ?

[Carpate]

j'ai trouvé h'(x)=exp(x)*(1-x)
sur [0;1] h' est négatif, donc h et f sont décroissants
c'est bien ça ?

Non,
Sur [0;1] :
h(x) est monotone, croissante,
soit
donc ainsi que f'(x)

[love-animo]

d'accord, merci.
Mais je comprend toujours pas comment il faut démontrer que pour tout x de [0;1], f(x) E [0;1]

[Carpate]

d'accord, merci.
Mais je comprend toujours pas comment il faut démontrer que pour tout x de [0;1], f(x) E [0;1]

Et si tu résumais ce que tu as démontré ?
f(x) est continue, monotone croissante sur [0;1]
f(0) = 0
f(1) = 1
Conclusion : f est une bijection de ... sur ...

[love-animo]

une bijection ? j'ai pas vu ça en cours mais je trouve que ça ressemble au théorème des valeurs intermédiaires mais je sais pas comment l'utiliser dans ce cas

[Carpate]

une bijection ? j'ai pas vu ça en cours mais je trouve que ça ressemble au théorème des valeurs intermédiaires mais je sais pas comment l'utiliser dans ce cas

f est continue sur [0;1] et monotone croissante donc f prend toutes les valeurs comprises entre f(0) = 0 et f(1) = 1