Fonction dérivé et application de la dérivation

[carramel]

bonsoir,
j'ai un problème sur un devoir de maths que je n'arrive pas à faire merci de votre aide

1/ soit la fonction f définie sur [1/2 , 4] par :

f(x) = 6x+8+24/x

a. Déterminer la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f '(x). En déduire le sens de variation de f.

Etablir alors le tableau de variation de f.

b. Justifier que l'équation f(x) = 40 admet une unique solution dans l'intervalle [1 , 4]
2
Déterminer un encadrement à 10 puissance -1 près de cette solution.

2/ On souhaite fabriquer un conteneur en tôle en forme de parallélépipède rectangle dont le volume est de 12 mètre cube.
En raison de son utilisation , l'une de ses dimensions doit être de 3 mètres. On cherche les deux autres dimensions (x et h) de façon à satisfaire différentes contraintes.
a. A l'aide des données précédentes, exprimer h en fonction de x

b. Déterminer l'expression de la surface de tôle à utiliser, en fonction de x et de h, puis uniquement en fonction de x

c. En utilisant les résultats du 1/ donner les valeurs de x, puis de h dans les deux cas suivants :
. si l'on souhaite que la surface soit la plus petite possible ;

. si l'on décide d'utiliser 40 mètres carrés de tôle pour la construction de ce conteneur (on donnera les dimensions à 10 puissance moins 1 près)

merci pour votre aide

[allomomo]

Salut,

Données



1 -






3 -

[Daragon geoffrey]

slt
par définition on trouve : V=12 équiv à l*L*h=12 or l=3 équiv à L*h=4 où h=hauteur et L=longueur, de plus on obtient h=4/L on note L=x donc h=4/x et finalement la surface totale est donné par (fais une figure rapide) : 2*3*h + 2*x*h + 2*3*x =f(x)=24/x + 8 + 6x donc pour répondre aux questions suivantes, tu utilises les variations de f que ta donné allomomo, ... ça va assez vite @ +

[allomomo]

Re -


Les solutions de f(x)=40 sont calculables directement, c'est pour cela que j le calcul, je te conseille de le faire à chaque fois si possible pour éviter les erreurs de rédaction (avec l'autre méthode).

Il est possible de trouver une valeur approché à l'aide d'une autre méthode : Théorème des valeurs intermidiaires.


Rédaction :

f est continue (car dérivable), et strictement monotone (croissante ou décroissante).

De plus elle prend des valeurs inférieures et supérieures à y=40 (ici) tu donnes deux exemples.
f(a1)=50 >40
f(a2)=39<40

Donc f(x)=40 admet une unique solution alpha sur l'intervalle [a, b]