La fonction définie sur [0;5] par : f(x) = 1 - x + 2lnx

[kant]

Bonjour ! J'ai un exercice à faire j'aimerai avoir différents résultats pour pouvoir comparer merci d'avance :

On désigne par f la fonction définie sur [0;5] par : f(x) = 1 - x + 2lnx

1) Calculer la limite de f en 0

2) Calculer f'(x) et étudier les variations de f
Dresser le tableau de variations de f

3) a) calculer f(1)
b) Justifier que l'équation f(x) = 0 admet sur [3;4] une solution unique alpha puis donner une valeur approchée à 10puissance -2 près par défaut de alpha
c) en déduire le signe de f(x) en suivant les valeurs de x

4)On appelle g la fonction définie sur 0;+infini exclus par g(x) = x(-1/2x+ 2ln x - 1)
a) Montrer que g'(x)=f(x)
b) Calculer g(alpha)-g(1)

Correction :

1) lim (2lnx)= - inf
x>0

lim (1-x)= 1
x>0

lim f(x)= -inf
x>0

2) f(x) = 1 - x + 2.ln(x)
f '(x) = -1 + 2/x
f '(x) = -(x-2)/x


f '(x) > 0 pour x dans ]0 ; 2[ --> f(x) est croissante.
f '(x) = 0 pour x = 2
f '(x) f(x) est décroissante.

3/a/ Calculer f(1)

f(1)=1-1+2ln1
f(1)=0

b/Justifier que l'équation f(x)=0 admet sur [3;4] une solution unique alpha puis donner une valeur approchée à 10^-2 près par défaut de alpha

La droite d'équation y=0 coupe la courbe en un point donc l'équation f(x)=0 admet une seule solution :
3,49<alpha<3,51


c/En déduire le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

f(x) supérieur à 0 quand x appartient [1; alpha]
f(x) inférieur à 0 quand x appartient [alpha ; +;)]

4/On appelle g la fonction définie sur [0;5] par g(x)= x((-1/2)x+2ln(x)-1)

a) Montrer que g'(x)=f(x)

b) Calculer g(alpha)-g(1)

[Sylviel]

C'est tout juste jusqu'à présent.

As-tu essayé de dériver g ?

[kant]

a.g'(x)= (-1/2x+2Lnx-1)+x(-1/2+2/x)
g'(x)= -1x+2x/x+2Lnx-1
g'(x)= 1-x+2Lnx

Donc g'(x)=f(x)

b. g(alpha)= -0.86
g(1)= -3/2

g(alpha)-g(1)=0.64