Fonction cube

[andrea73]

Bonjour,

(1)Soit f1 définie sur Rpar f1(x)= x^3+px, où p est plus grand que 0.

a.Montrer que f1 est strictement croissante sur R.
b.En déduire le sens de variation sur R de
f'1:x x^3+px+q

(2). On suppose maintenant que f1(x)=x^3-px avec p plus grand que 0.
a. Vérifier que f1(a)-f1(b)=(a+b)(a²+ab+b²-p)
b. On suppose que a,b appartiennt a [0,3p /3]
Montrer que si a différent de b, a²+ab+b²-p est plus petit que 0.
En déduire que f1 est strictement décroissante sur [0,3p /3]
(on étudiera le signe de f1(a)-f1(b))

On ma déjà répondu sur un poste a la partie 1, mais je bloque dans la deuxieme partie.

Mon dm est remplie de question dans le genre et je ne comprend pas. Merci de ton aide.

[Sylviel]

bonjour,

2a) développer f1(a)-f1(b) d'une part, et ton expression d'autres part.
2b) il manque ta condition sur a,b pour que ton inégalité soit vraie : tel quel on prend a=b=0 et on voit que c'est faux dès que p>0...

[andrea73]

f1(a)-f1(b)=a^3-pa-b^3+pb
=a^3-b^3-p(a+b)

(a-b)(a²+ab+b²-p)
=a^3-b^3-pa+pb

Donc ils sont egaux et donc je conclut qu'ils sont egaux, mais par contre pour la deuxieme question sa se complique pour moi.

[andrea73]

J'ai bon ou pas?

[Le Chaton]

Fais juste attention avec tes signes ... y'a vdes - qui deviennent + on sait pas pourquoi ...


=a^3-b^3-p(a+b)=a^3-b^3-pa-pb


=a^3-b^3-pa+pb

D'après ce que tu as écris moi je dirais qu'ils ne sont pas égaux ... revois les signes et ça devrait être bon ...

[andrea73]

f1(a)-f1(b)=a^3-pa-b^3+pb
=a^3-b^3-p(a+b)

(a-b)(a²+ab+b²-p)
=a^3-b^3-pa-pb

[Le Chaton]

Mais nan qu'est ce que tu as fait ? c'était l'autre celle qui était fausse ... :S celle la était bonne ...

[andrea73]

f1(a)-f1(b)=a^3-pa-b^3+pb
=a^3-b^3-p(a+b)

(a-b)(a²+ab+b²-p)
=a^3-b^3-pa+pb

Je comprend pas?

[Le Chaton]

f1(a)-f1(b)=a^3-pa-b^3+pb
=a^3-b^3-p(a+b)

(a-b)(a²+ab+b²-p)
=a^3-b^3-pa+pb

Je comprend pas?

Le + en rouge est faux ... ça devrait être un - ...
Tu factorises par "-p" donc a^3-b^3-p(a-b)...

[andrea73]

b. On suppose que a,b appartiennt a [0,3p /3]
Montrer que si a différent de b, a²+ab+b²-p est plus petit que 0.
En déduire que f1 est strictement décroissante sur [0,3p /3]
(on étudiera le signe de f1(a)-f1(b))


a²+ab+b²-p est plus petit que 0,

on peut dire que la fonction carré est toujours croissante?

[Le Chaton]

ça veut dire quoi ça ? [0,3p /3]
POur moi un intervalle ça se note comme ça [a;b]

[andrea73]

C'est [0;(racine de 3p )/3]
Je n'arrive pas a ecrire les racine.

[Le Chaton]

Bah on te dit d'étudier le signe de f1(a)-f1(b) alors fais le ...

Comment montrer que ça a²+ab+b²-p est négatif ?!

[andrea73]

f1(a)-f1(b)=a²+ab+b²-p

or a²+ab+b² est positive car la some des carrés est toujours positive. Mais p est négatif, donc la fonction est négative.

[Le Chaton]

Euh nan pas du tout ... va falloir réfléchir un peu plus :p peut être te servir du fait que a et b sont compris sur un certain intervalle ... par exemple tu pourrais calculer combien vaut au maximum a²+ab+b² ... sur cet intervalle ...

[andrea73]

Oui, mais vomment je peux calculer avec un intervalle aussi complexe, j'ai vraiment pas compris.Je pensais que sa pouvais etre plus simple.

[Le Chaton]

Bah ... heu ça vaut combien ?
Ensuite tu prends en compte le fait que a et b doivent être différent ... donc si
a² = maximum alors b² sera infèrieur au maximum ...

[andrea73]

Bah ... heu ça vaut combien ?
Ensuite tu prends en compte le fait que a et b doivent être différent ... donc si
a² = maximum alors b² sera infèrieur au maximum ...

a d'accord l'intervalle donc c'est [0;p] ?

pour quoi ce ne serais pas a² inferieur b², puisque sa peut etre le contraire?

[Le Chaton]

Mais non l'intervalle c'est [] ... c'est bien ce que tu m'a dit ... ?
Si l'intervalle c'est ça ça veut dire qu'au maximum si on veut choisir a et b les pus grand possible alors on pourra en prendre un = mais pas l'autre ... l'autre sera forcément plus petit ... t'es d'accord ?
Donc calcul pour a et pour b = à et une fois que tu as fais le calcul la tu pôurras dire que ton calcule a toi et strictement plus petit ...

[andrea73]

Mais non l'intervalle c'est [] ... c'est bien ce que tu m'a dit ... ?
Si l'intervalle c'est ça ça veut dire qu'au maximum si on veut choisir a et b les pus grand possible alors on pourra en prendre un = mais pas l'autre ... l'autre sera forcément plus petit ... t'es d'accord ?
Donc calcul pour a et pour b = à et une fois que tu as fais le calcul la tu pôurras dire que ton calcule a toi et strictement plus petit ...

Oui, j'ai compris ce que tu voulais me dire.Par contre, pour le calcul, je remplace dans l'equation,a par quoi?