Fonction et continuité

[sela]

Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x^4/16 + x²/2 + x-1 et f' sa fonction dérivée.
1) Montrer que la fonction dérivée f' admet une seule racine dans R ; soit alpha celle ci ; montrer que alpha est compris entre -0.85 et -0.84.
2) déterminer les variations de f
3)a) montrer que -2 est la seule racine de f sur ]-infini ; alpha] (continuité inutile)
b) montrer que f admet deux racines et deux seulement sur R : -2 et béta.
c) la représentation graphique de f dans un repère orthogonal admet-elle un axe de symétrie parallèle à l'axe des ordonnées ? (cela se fait pratiquement ss calcul, mais en expliquant, en exploitant -2, alpha et béta)
4) Jusitifier en demandant f(-0.84) a la calculatrice que f(alpha) est inférieur à -1.456
5) Montrer que f(alpha) = alpha²/4 + 3/4alpha-1, puis en étudiant les variations de h(x) = x²/4 + 3/4x -1 que f(alpha) est supérieur à -1.457.

Je ne comprends rien a cet exercice, j'ai été souvent absent car je suis souvent à l'hopital. Merci de votre aide.

[Nicolas_75]

Bonjour,

1) Quelle expression de f'(x) as-tu trouvée ?

Nicolas

[sela]

alors f'(x) = x^3/4 + x + 1

[Nicolas_75]

OK.
Donc f' est la somme d'une fonction constante et de 2 fonctions strictement croissantes. Donc f' est strictement croissantes.
Or elle tend vers -oo en -oo et vers +oo en +oo
Donc f' s'annule en un point unique (que l'on peut approximer à la calculatrice).
A gauche de ce point, f' est strictement négative, donc f est strictement décroissante.
A droite de ce point, f' est strictement positive, donc f est strictement croissante.