Fonction continue limite

[GeorgeB]

Bonjour, j'ai un problème avec un exercice sur la continuité extrait d'un vieux bouquin,

Soit f une fonction telle que (f(x+1)-f(x)) tende vers 0 en + l'infini. Montrer que la fonction tend vers 0 en + l'infini.


Merci d'avance !

[dibeteriou]

Maintenant, tu peux rendre tous les termes de la somme petits (à fixé) et tu peux aussi rendre petit (à toi de trouver comment et dans quel ordre fixer les paramètres).

[Finrod]

Dans la mesure où tu dis que N est fixé, je ne vois par en quoi diffère de quand x tend vers l'infini.

Jamais simple ce genre d'exo.


edit: ok. j'oubliais qu'il fallait diviser la somme par x aussi, ça ouvre des choix pour N.

[benekire2]

Salut,

Il me semble que en fait la continuité de f n'est pas oligatoire et qu'il suffit que f soit bornée. J'avais lu une preuve de ce résultat, je m'en rappelle plus, si tu la veut je pourrai la poser.

[GeorgeB]

Bonjour, je ne comprends pas trop dibeteriou, que dois je fixé ?

Je sais que pour tout k positif a partir d'un certain N pour x>N |f(x+1)-f(x)|

[Finrod]

la somme se coupe en deux, une ou les (x-k) de dibeteriou sont assez grand. Et une autre, qui contient un nombre fini de termes donc correspond à un paramètre fixé.

[GeorgeB]

D'accord, la somme tend vers 0, par contre , comment rendre f(x-N)/x petit ? Je sais pas comment faire,

[dibeteriou]

Dans un premier temps, les paramètres sont libres (on ne sais pas dans quel ordre fixer leurs valeurs).

Ici, il y a deux types de termes à rendre petits :
- les sont petits (pour grand), et ils sont divisés par qui va être assez grand (par contre, il y en a ).
- qui nous embête.

A N fixé, est comme : il faut que dépende de .

[GeorgeB]

Merci dibeteriou pour votre réponse.

Cependant, j'ai des problèmes, si je fais dépendre N de x, alors la formule ne va plus tennir dans le sens ou l'on va énoncer pour tout k il existe N tel que x>N ...

[GeorgeB]

Pour clarifier j'ai :

alors en notant g(x)=f(x+1)-f(x) g converge vers 0 et donc :



Et pour x>2N :


Je ne peut pas faire mieux.

[dibeteriou]

est un paramètre qui n'intervient pas dans l'écriture de la définition de la limite, il joue un "second rôle" dans l'histoire.

Pour faire tendre vers , il suffit de prendre la partie entière de .

Ensuite, on a (qui est donc assez grand !) termes divisés par .
Si on majore simplement par ( étant bornée) on montre simplement que est bornée.

Comment améliorer le résultat ?

[truc pratique : ici, quel paramètre n'a-t-on pas fait varier ?]

[GeorgeB]

D'accord, donc N=E(x) . Maintenant je vois où l'on veut en venir, mais pour en être certain il faudrait qu'on puisse formaliser tout ça.


Pour tout il existe k tel que x>k => et là je ne vois pas

le fait qu'on ai fixé N=E(x) casse tout ce qu'on a fait sur la somme, bref , je ne comprends plus

Peut tu s'il te plait écrire ce que on doit avoir écrit a la fin stp ? Je t'en serai très reconaissant !

PS: Tu dit qu'on peut majorer g par |g| mais car g est borné, seulement la somme des g dépend de x donc si n divise par x on peut rien savoir sur la limite.

[Anonyme]

Je suppose que la fonction est defini sur R.

Soit x , x appartient a .

Je defini la suite :


D'apres l'hypothese il est claire que la pour tout x la suite est une suite de cauchy donc bornee et ceci quelque soit x il en resulte que f(x) est bornee donc la limite de a l'infini est 0.

J'ai fais ca un peu rapidement et je ne suis pas tres sur..

[benekire2]

Qmath -> Oui oui ça fonctionne normalement, mais sans parler de suite de Cauchy on pourra étudier la suite f(n+1)-f(n) et montrer que f(n) est bornée puis comme f est continue ( je ne l'ai pas fait) je pense que ce doit pas être dur de montrer que f(x) est bornée puis d'en déduire la limite de f(x)/x.

Le plus dur étant de montrer que f continue et f(n) bornée implique f(x) bornée.

[Nightmare]

Je suppose que la fonction est defini sur R.

Soit x , x appartient a .

Je defini la suite :


D'apres l'hypothese il est claire que la pour tout x la suite est une suite de cauchy donc bornee et ceci quelque soit x il en resulte que f(x) est bornee donc la limite de a l'infini est 0.

J'ai fais ca un peu rapidement et je ne suis pas tres sur..

Hum, j'y crois pas trop, les bornes de un(x) dépendent de x !

[benekire2]

Je me demande, sur cet exo, il y a une autre méthode ?

[GeorgeB]

Malheureusement ca ne me fait pas avancer :cry:

Vraiment si quelqu'un pouvait me débloquer, ou donner une soluce ce serait génial !

Merci :we:

[Anonyme]

Hum, j'y crois pas trop, les bornes de un(x) dépendent de x !

Je m'en doutais qu'il y avait quelque chose d'incorrecte car j'ai pas utilise l'hypothese de continuite qui (je pense) n'est pas du tout superflue. Je cherche si je peux l'inclure dans mon raisonnement mais pour l'instant je ne vois absolument pas comment.

[dibeteriou]

1) D'abord, le bilan de ce qu'on a fait :
on a écrit


On a résolu le problème posé par le morceau : il tend vers 0 quand ce qui impose la valeur de .

Restent (c'est à dire à peu près ) termes petits pour deux raisons.

2) Maintenant, on va exploiter les armes qui nous restent :
- si on a et couper en deux la somme : les indices tels que forment une somme de termes de module (on utilise la "deuxième raison"), donc majorée par .

- restent p termes, ceux pour lesquels . Il n'y en a qu'un nombre fini, et comme est bornée (ou bien : continue que donc bornée sur ce segment) on peut conclure en divisant par .

Reste à rédiger, mais tout est là.

@ benekire2 : en général, il n'y a qu'une solution "simple".
@ Qmath : l'hypothèse dit que vérifie mais pas qu'elle est de Cauchy...
Pour un contre exemple de ton argument :
On prend et n'est pas bornée...

[GeorgeB]

merci beaucoup , je comprends maintenant , ouf :happy2: