Fonction continu

[Anonyme]

Bonjour

En m'avançant un peu sur le programme de 1S je vois que la vrai definition d'une fonction continu est

Or j'ai un peu de mal a imaginer qu'une fonction qui satisfait cette propriete est continu. Ne manque - t-il pas aux condition que et sont proportionels ?

Merci

[maturin]

non en fait cette formule veut dire que quelle que soit la valeur de epsilon aussi petite qu'elle soit tu trouveras un eta tel que sur l'intervalle [x-n;x+n] ta fonction f variera entre f(x)-e et f(x)+e

en d'autres terme plus ou moins mathématiques:
au voisinage de x ta fonction reste autour de f(x).

Si tu veux te servir de cette définition pour démontrer qu'une fonction est continue il te faut poser e, puis trouver un n (dépendant de e) qui prouve l'inéquation.
Et le n que tu vas trouver n'est pas forcément proportionnel à e, d'ailleurs si tu rtouves un n, toutes les valeurs plus petites que ce n marchent aussi.

[Anonyme]

non en fait cette formule veut dire que quelle que soit la valeur de epsilon aussi petite qu'elle soit tu trouveras un eta tel que sur l'intervalle [x-n;x+n] ta fonction f variera entre f(x)-e et f(x)+e

Justement cela ne montre pas que quand e ---> 0 n--->0
or je trouve cette condition plus que necessaire.

[maturin]

exemple: f(x)=x sur R

soit e>0 quelconque
il faut que tu trouves n>0 tel que pour y dans ]x-n;x+n[ ta fonction f vérifie |f(y)-f(x)
si tu prend n=e ca marche, mais ca marche aussi si tu prends n=e/2 ou n=e/(e²+1) marche aussi car e/(e²+1)

[Anonyme]

[quote="maturin"]exemple: f(x)=x sur R

soit e>0 quelconque
il faut que tu trouves n>0 tel que pour y dans ]x-n;x+n[ ta fonction f vérifie |f(y)-f(x) 0 n--->0

[Anonyme]

En fait ce que je n'arrive pas a comprendre c'est pourquoi une fonction qui satisfait
(1)

satisfait necessairement
(3)

et donc est continu .

Pour moi: (1) +(2) (3)
avec (2) :
(2)

[Nightmare]

Salut,

c'est exactement la définition de en terme infinitésimaux.

Pourvu qu'on soit suffisamment proche de a, ( dans un intervalle du type avec eta suffisamment petit), on a avec epsilon arbitrairement petit. Cela traduit bien le fait que la limite que x tend vers a de f(x) vaut f(a) non?

[Anonyme]

Salut,

c'est exactement la définition de en terme infinitésimaux.

Pourvu qu'on soit suffisamment proche de a, ( dans un intervalle du type avec eta suffisamment petit), on a avec epsilon arbitrairement petit. Cela traduit bien le fait que la limite que x tend vers a de f(x) vaut f(a) non?

Cela fait deux condition .. En d'autres termes il faut que epsilon et eta soit proportionels et cela n'est pas démontré ..

En fait je trouve ce que j'avais ecrit tres logique

En fait ce que je n'arrive pas a comprendre c'est pourquoi une fonction qui satisfait
(1)

satisfait necessairement
(3)

et donc est continu .

Pour moi: (1) +(2) (3)
avec (2) :
(2)

Je ne comprends pas comment a partir de on peut deduire et l'inverse.
Pourquoi ces deux expression sont equivalentes ? peut on demontrer cela ?

[Nightmare]

Pourquoi eta et epsilon proportionnels? Où est-ce qu'on parle de proportionnalité? Déjà comment parler de proportionnalité avec deux grandeurs qui ne sont a priori pas commensurables...

Je reprends : trace un graphique un morceau de courbe continue. Dire que f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a veut dire intuitivement que lorsque la distance entre x et a est petite, celle entre f(x) et f(a) l'est aussi. En fait cette distance peut être aussi petite que l'on veut, il suffit de prendre la distance entre x et a elle aussi assez petite.

Littéralement, cela veut dire que pour n'importe quel réel epsilon fixé, on va pouvoir trouver un réel eta tels que la distance entre f(x) et f(a) est inférieur à epsilon dès que celle entre x et a est inférieur à eta. Et bien sur, ces distances valent |f(x)-f(a)| et |x-a|. C'est bien la définition qu'on a au dessus.

Un exemple si tu veux.

On veut montrer disons que la fonction carré est continue en 0, donc montrer que x² tend vers 0²=0 lorsque x tend vers01. On veut pouvoir montrer que la distance entre x² et 0 (ie |x²|) peut être aussi petite que l'on veut pourvu que x soit assez proche de 0.

Posons . On veut savoir si on peut trouver un nombre tel que dès que |x| est inférieur à eta alors |x²| est inférieur à epsilon.

Ici c'est plutôt clair, il suffit de prendre ! Tu es d'accord?

[maturin]

autre exemple f(x)=x²
tu veux montrer que f est continue en x=1

f(x+n)=x²+2nx+n²
tu veut trouver n tel que f(1+n)-f(1)soit trouver n tel que 2n+n²
n=min(1/3;e/3) marche car pour n<1 tu as n² 2n+n²<3n

donc si n=min(1/3;e/3) alors si x dans ]1-n;1+n[ => |f(x)-f(1)|
par contre |f(x)-f(1)|

La continuité c'est que si tu prend un x proche alors la valeur de ta fonction est proche.
Si tu fait l'autre sens cela revient à dire que si tu prends une valeur de ta fonction proche alors tu reste à un x proche. Ce qui ressemble plus au fait que ta fonction soit inversible et à fonction inverse continue.


Quelle est ta définition de lim f(x)=L quand x tend vers a ?

[Nightmare]

J'ai choisi la facilité :lol2:

[Anonyme]

Merci a vous deux.
Je pense avoir compris en tout cas c'est deja beaucoup plus clair ...

@Nightmare : quand je parlait de "proportionalite" j'aurais du employe un autre mot ce que je voulait dire c'est qu'il est illogique si la fonction est continu que quand epsilon diminue eta augmente. Es tu d'accord ?

[maturin]

oui plus ton epsilon diminue plus ton eta doit diminuer car tu réduis la possibilité de varier bcp autour de f(x).
Sauf si ta fonction est constante autour de x.

la fonction f(x)=1 est continue et tu peux prendre n'importe quel eta pour le prouver car pour tout x et tout eta tu auras f(x+n)-f(x)=0

[Anonyme]

oui plus ton epsilon diminue plus ton eta doit diminuer car tu réduis la possibilité de varier bcp autour de f(x).
Sauf si ta fonction est constante autour de x.

la fonction f(x)=1 est continue et tu peux prendre n'importe quel eta pour le prouver car pour tout x et tout eta tu auras f(x+n)-f(x)=0<epsilon

Donc apres avoir calculer eta en fonction d'epsilon on doit verifier que quand epsilon diminue eta diminue. Non ?

[maturin]

ben non puisqu'il est pas obligé de diminuer dans l'exemple des fonctions constantes.

ton objectif est de trouver eta suffisament petit pour que f ne varie pas de plus de epsilon quand tu bouges entre x-n et x+n

si tu fais un grapique trace une fonction f quelconque, trace deux droites horizontale aux ordonnées f(x)+e et f(x)-e

entre ces deux droites il te reste une partie de la courbe.
si tu resseres tes deux droites cette partie diminue pour devenir très faible. Donc l'espace pour choisir ton eta se réduit.

Mais ce n'est pas toujours le cas, l'exception étant les fonctions constantes (ou partiellement constante autour du point où tu regardes ta continuité)

[Anonyme]

Merci pour tout j'ai tout compris.
On voit mieux cela graphiquement en effet.

Merci

[maturin]

les premières notions de continuité que tu as du entendre c'est que tu peux tracer ta courbe sans lever le crayon.

Ce qui veut dire que si tu bouges très peu autour de x ta courbe va rester autour de f(x) (et donc f ne fait pas de bond).

Donc il existera toujours un voisinage autour de x où ta courbe aura pour valeur f(x) à epsilon près. (i.e. dans ce voisinage tu ne peux pas faire de bond de plus de epsilon).

Si tu prouves ca pour tout epsilon alors tu prouves qu'au voisinage de x tu ne fais pas de bonds de plus de epsilon et ce quel que soit epsilon donc tu ne fais pas de bonds tout court.