Fonction et autres

par **Heavar** » 28 Nov 2010, 19:43

Bonjour
Voila j'ai énormément de difficultés à faire mon exercice , je ne le comprend pas alors je poste sur ce forum pour pouvoir me faire expliquer cet exercice .
Alors

Soit la fonction définie sur R par : f(x) = cos x + xcarré/2 - x +1/2
1 ) Calculer les limites de f en +infini et -infini
alors là je pense avoir bon mais je doute quand même ! J'ai dérivé chaque terme c'est a dire que j'ai fait la limite en +infini pur cos x et pour les autres et en tout pour +infini j'ai trouvé 1/2 et pour -infini j'ai : +infini . C'est bon ou je me suis tromper ?

2) Montrer que la dérivée f' de f est strictement monotone sur ( 0 ; 2Pi ) puis sur R
Alors j'ai dérivée f et j'ai trouve f'= -sin - 1 , je pense avoir juste non ? Mais pour montrer qu'elle est monotone , je fais quoi je calcule delta puis je fais un tableau de variation ?

Merci de m'aider , n'hésiter pas à juste me donner la méthode ou un exercice similaire , je ne veut pas vraiment avoir la réponse , je veux travailler un minimum .

par **Vahngal** » 28 Nov 2010, 20:21

Heavar a écrit:Soit la fonction définie sur R par : f(x) = cos x + xcarré/2 - x +1/2
1 ) Calculer les limites de f en +infini et -infini
alors là je pense avoir bon mais je doute quand même ! J'ai dérivé chaque terme c'est a dire que j'ai fait la limite en +infini pur cos x et pour les autres et en tout pour +infini j'ai trouvé 1/2 et pour -infini j'ai : +infini . C'est bon ou je me suis tromper ?

Si j'ai bien compris : f(x) = cos x + x²/2 - x +1/2

1) La limite des fonctions cos et sin en + ou - infini n'existe pas car ces fonctions sont périodiques.

Par conséquent tu dois encadrer ta fonction. Tu sais que 0<=cos x<=1
D'où : g(x)<=f(x)<=h(x) avec g(x) = x²/2 -x + 1/2 et h(x) = x²/2 -x + 3/2

Qu'en déduis tu ?

2) Montrer que la dérivée f' de f est strictement monotone sur ( 0 ; 2Pi ) puis sur R
Alors j'ai dérivée f et j'ai trouve f'= -sin - 1 , je pense avoir juste non ? Mais pour montrer qu'elle est monotone , je fais quoi je calcule delta puis je fais un tableau de variation ?

Ta dérivée est fausse.
Pour étudier la monotonie de f' tu dois calculer sa dérivée (f") et regarder son signe sur [0,2pi].

par **Heavar** » 28 Nov 2010, 20:31

J'en déduis que f ( x) = xcarré / 2 - x + 1 non ?
et donc après je peux faire les limites ?

et pour ma dérivée , pourquoi est-elle fausse ? parce qu'il faut utiliser celle du haut sans cos x ?

par **Heavar** » 29 Nov 2010, 22:06

Bonjour
Le problème est toujours d'actualité , je n'y arrive pas !
Merci

par **Vahngal** » 29 Nov 2010, 22:56

Heavar a écrit:J'en déduis que f ( x) = xcarré / 2 - x + 1 non ?
et donc après je peux faire les limites ?

Non pas du tout, on a toujours f(x)=cos(x) +x^2/2 -x + 1/2. D'ailleurs j'ai fait une énorme faute puisque -1<=cos(x)<=1 évidemment :dodo:

Connais tu le théorème des gendarmes ?(ou théorème d'encadrement ?) Il doit figurer dans ton cours. Peux tu me l'appliquer ?

et pour ma dérivée , pourquoi est-elle fausse ? parce qu'il faut utiliser celle du haut sans cos x ?

Non ta dérivée est fausse car tu as mal dérivé chaque terme, regardes bien.

par **Heavar** » 29 Nov 2010, 23:01

Ok j'ai fait la comparaison avec l'encadrement et j'obtient les limites FI pour +infini et +infini pour -infini

J'ai dérivée et j'obtiens -sin x + x - 1 mais après je suis bloqué , je ne vois pas comment faire , comment montrer que f' est strictement monotone ?

par **Vahngal** » 29 Nov 2010, 23:20

Heavar a écrit:Ok j'ai fait la comparaison avec l'encadrement et j'obtient les limites FI pour +infini et +infini pour -infini

Non, tu as fais une erreur. Avec l'encadrement g(x)<=f(x)<=h(x)
où g(x) = x²/2 -x - 1/2 et h(x) = x²/2 -x + 3/2

En + infini tu obtiens :

et

Soit

De même en -infini tu dois trouver

J'ai dérivée et j'obtiens -sin x + x - 1 mais après je suis bloqué , je ne vois pas comment faire , comment montrer que f' est strictement monotone ?

Je te pose deux questions :
Qu'est-ce qu'une fonction monotone ?
Comment étudie-t-on la monotonie d'une fonction ?

par **Heavar** » 29 Nov 2010, 23:33

Je ne comprend pas pourquoui en +infini c'est +infini puisque xcarré/2 = +infini et -x=-infini et +infini + (-infini ) = FI non ?

une fonction monotone est une fonction dont le sens de variation ne change pas . Mais je ne sais pas comment l'étudier sur 0 ; 2pi !

par **Vahngal** » 29 Nov 2010, 23:57

Heavar a écrit:Je ne comprend pas pourquoui en +infini c'est +infini puisque xcarré/2 = +infini et -x=-infini et +infini + (-infini ) = FI non ?

Le terme forme indéterminée est utilisé par les professeurs du secondaire pour éviter que vous écriviez : + infini + (-infini) = 0 :lol3: (aïe je l'ai écrit)

Mais ça n'est en aucun cas une réponse acceptable ! Quand tu trouves une forme indéterminée tu dois poursuivre ton travail de recherche. Içi tu as une forme polynomiale. Par conséquent la limite à l'infini est égale à la limite (à l'infini) du terme de plus haut degré.

ex : En + infini : lim [g(x)= x²/2 -x - 1/2] = lim [x²/2] = + infini

Tu peux aussi le justifier autrement et peut être que tu comprendras mieux ainsi : On factorise par x²/2.

Si tu fais la limite maintenant en +infini qu'obtiens-tu ?

une fonction monotone est une fonction dont le sens de variation ne change pas . Mais je ne sais pas comment l'étudier sur 0 ; 2pi !

"Le sens de variation ne change pas" se traduit par : f strictement croissante ou f strictement décroissante.

Comment arrives tu à déterminer si f est croissante ou décroissante ?

par **Heavar** » 30 Nov 2010, 00:16

bonne question , je dirai que je calcule delta puis j'étudie le sens de variation non ? Désolé je suis vraiment mauvais en Maths ! Ou alors j'étudie le sens de variation ?

par **Vahngal** » 30 Nov 2010, 00:30

Heavar a écrit:bonne question , je dirai que je calcule delta puis j'étudie le sens de variation non ? Désolé je suis vraiment mauvais en Maths !

Qu'appelles-tu delta ? Le discriminant ?

Quand on fait des mathématiques, il est important de savoir de quoi on parle. Le discriminant ne peut être étudier qu'en présence d'un polynôme (et à ton niveau, du second degré).

Içi tu n'as clairement pas un polynôme à cause du cosinus.

Non, on étudie la monotonie d'une fonction sur un intervalle I en déterminant le signe de sa dérivé sur ce même intervalle.
Exemple : f'(x)>0 => f strictement croissante (donc monotone par définition)

-------------------------------------------------------------------------------
Dans ton exercice on te demande d'étudier la monotonie de f'(x) = -sin(x)+ x -1
En suivant la méthode exposée ci-dessus peux tu essayer de le faire ?

par **Heavar** » 30 Nov 2010, 00:36

Donc je dérive f' (x ) et je trouve f'' (x) = - cos x + 1 et donc sur 0; 2pi la fonction est strictement décroissante c'est sa ? En faites je n'arrive pas à demontrer si -cos x + 1 est croissant ou décroissant sur ( 0 ; 2pi )

par **Vahngal** » 30 Nov 2010, 00:56

Heavar a écrit:Donc je dérive f' (x ) et je trouve f'' (x) = - cos x + 1 et donc sur 0; 2pi la fonction est strictement décroissante c'est sa ? En faites je n'arrive pas à demontrer si -cos x + 1 est croissant ou décroissant sur ( 0 ; 2pi )

Tu n'appliques pas la méthode ! Le but étant de déterminer le signe de f" sur [0,2Pi].

Or f"(x)=1-cos(x)>= 0 sur cette intervalle donc f' est strictement croissante sur [0,2Pi] (monotone)
(On peut rapidement extrapoler sur R, puisque -1<=cos(x)<=1 pour tout x appartenant à R
donc 0<=f''(x) sur R etc.)

par **Heavar** » 30 Nov 2010, 01:04

Non mais sur R il ne faut pas faire la question , je me suis trompé !

Peut tu m'aider une dernière fois ? Alors c'est pour ces question :

3 ) Montrer que l'équation f' (x) = 0 admet sur ( 1 ; 2 ) une unique racine Alpha et que alpha est la seule racine sur R . Donner un encadrement à 0,01 près de alpha

Je dois faire un tableau de signe puis en déduire les variations sur ( 1 ; 2 ) ?

4 ) En déduire les variations de f

Merci beaucoup

par **Vahngal** » 30 Nov 2010, 01:20

Heavar a écrit:Non mais sur R il ne faut pas faire la question , je me suis trompé !

Peut tu m'aider une dernière fois ? Alors c'est pour ces question :

3 ) Montrer que l'équation f' (x) = 0 admet sur ( 1 ; 2 ) une unique racine Alpha et que alpha est la seule racine sur R . Donner un encadrement à 0,01 près de alpha

Je dois faire un tableau de signe puis en déduire les variations sur ( 1 ; 2 ) ?

Tu peux faire un tableau de variation mais je n'en vois pas trop l'intérêt étant donné que l'on vient de prouver que f"(x)>=0 pour tout x de R et que par conséquent, f' est croissante sur R.

Maintenant il faut appliquer le théorème de la bijection... Jettes un coup d'oeil à ton cours :lol3:

4 ) En déduire les variations de f

Sur [1,2] je suppose ? Içi il sera utile de dresser un tableau de variations...

par **Heavar** » 30 Nov 2010, 01:35

je trouve f' ( 1 ) <= f' (x ) <= f' (2 ) c'est sa ? Après je suis relativement bloqué , désolé .

par **Vahngal** » 30 Nov 2010, 01:37

Heavar a écrit:je trouve f' ( 1 ) <= f' (x ) <= f' (2 ) c'est sa ? Après je suis relativement bloqué , désolé .

As-tu un cours ? Peux-tu m'énoncer le théorème de la bijection s'il te plait ?

par **Heavar** » 30 Nov 2010, 01:43

le théorème de la bijection est un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, affirmant qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image
La monotonie de la fonction implique que l'image de l'intervalle [a;b] est contenue dans l'intervalle J :
si f est croissante, pour tout x de [a;b] on a f(a) ;) f(x) ;) f(b) ;
si f est décroissante, pour tout x de [a;b] on a f(b) ;) f(x) ;) f(a).

Vu que f' est croissante je prend ( 1 ;2 ) et f (1) ;) f'(x) ;) f (2) non ?

par **Vahngal** » 30 Nov 2010, 02:10

Je trouvais cette formulation bizarre, mais en fait c'est une somme de citations wikipedia hum...
Surtout prends le temps de réfléchir et de relire ton cours (pas wikipedia), si tu ne comprends pas certains points plutôt que faire de la cuisine avec des formules prises à droite et à gauche.

Restons sur wikipedia, la formulation intéressante est :

"Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a;b], alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe une unique solution à l'équation f(x) = k d'inconnue x dans [a;b]. En outre, cette équation n'a pas de solution sur [a;b] pour les autres valeurs de k."

Rappel de l'énoncé : Montrer que l'équation f' (x) = 0 admet sur ( 1 ; 2 ) une unique racine Alpha et que alpha est la seule racine sur R .

Voilà comment tu dois procéder :

Hypothèse :
f' est continue et monotone sur [1,2]...

On remarque : f'(1)0 alors sur [2,+infini[ f'(x)>=f'(2) donc pas de solution pour f'(x)=0.

Même démarche pour ]-infini,1]...

par **Heavar** » 30 Nov 2010, 08:42

désolé je ne trouvé pas mon cours .
Merci

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