Fonction/Aire

[Nao]

Bonjour j'ai un Dm a faire pour Lundi mais je rencontre des difficultés a le faire pourriez vous m'aidez s'il vous plaît!
On dispose d'un carré ABCD de côté 8 découpé en quatre rectangles comme sur la figure ci-contre.
On pose BE=BJ=x
On note A(x) l'aire du domaine colorié.


1) A quel intervalle appartient x?Pour cette question je pense que x€[0;8] car le carrée ABCD est de côté 8.Mais après je n'arrive pas a faire la suite
2)Montrer que A(x)=2(x-4)²+32
3) Pour quelle valeur de x cette aire est elle minimale et quelle est cette minimale?

Merci d'avance!

[Mathusalem]

Salut !
Le problème est simple pour le 2). (le 1 est juste)

Exprime séparement les deux aires hachurées en fonction de x. Tu as le petit carré qui est déjà trivial, c'est x*x.
Ensuite, l'autre partie est également un carré, de côté [?].
En considérant que le côté du grand carré est de 8, l'aire du grand carré hachuré ne devrait pas te poser problème. Somme les deux et conclus.

3) As-tu vu la notion de dérivée ?

[Nao]

Bonjour , pour la 2) c'est donc
x*x+8-x*8-x=x²+16?

Et pour la 3) Non je n'ai pas encore vu les notions de dérivée :/

[Mathusalem]

Fais bien attention a ta notation parenthèsée...

A(x) = (x*x) + (8-x)(8-x) = x^2 + 64 - 16x + x^2 = 2x^2 - 16x + 64 = 2(x^2 - 8x) + 64 = 2(x^2 - 8x) + 32 + 32 = 2(x^2 - 8x + 16) + 32 = ....
Ce que tu cherches.

Si tu n'as pas vu les dérivées, tu peux seulement resoudre ça par le feeling, mais ça me semble bizarre que tu ne l'aies pas vu. Bref, si tu fais tendre x vers 0, l'aire est maximale. Si x tend vers 8, l'aire est denouveau maximale. À l'instinct, ça te dit que l'aire minimale est atteinte lorsque x = ?

[Nao]

A(x) = (x*x) + (8-x)(8-x) = x^2 + 64 - 16x + x^2 = 2x^2 - 16x + 64 = 2(x^2 - 8x) + 64 = 2(x^2 - 8x) + 32 + 32 = 2(x^2 - 8x + 16) + 32 = 2x²-16x+32+32=2x²-16x+64 est ce que c'est juste ?

Puis après je developpe A(x)= 2(x-4)²+32 je pense

2(x-4)²+32
=2(x²(2 X x X 4)+4²)+32
=2(x²-8x+16)+32
=2x²-(2 X 8x)+(2 X 16) + 32
= 2x²-16x+32+32
=2x²-16x + 64
Puisque nous retrouvons le meme resultat alors A(x)=2(x-4)²+32?
Pour la 3) je comprend toujours pas

[Mathusalem]

Héhé, tu as bien conscience de ce que tu as fait ? Je t'amenais vers la solution, et tu as rebroussé chemin pour revenir à ce qui etait avant !

[...] 2(x^2 - 8x + 16) + 32 = 2(IDENTITE REMARQUABLE) + 32

Donc tu conclus en une ligne :)

Pour la trois, sans avoir vu les dérivées, c'est compliqué.

Si tu mets x = 0, alors la zone hachurée occupe tout le carré.
Si tu mets x = 8, alors la zone hachurée occupe tout le carré.
Dès que tu augmente x à partir de zéro, il se crée une petite zone non blanche. Dès que tu baisses x à partir de 8, il se crée une petite zone blanche. Mais ! Vu qu'en zero et en 8, la zone hachurée recouvre tout le carré, tu sais bien que si tu baisses à partir de 8 pendant lgtps, qu'il y aura un moment pendant lequel la zone blanche croîtra, et puis diminuera ! Idem en augmentant toujours de x = 0.

Exemple : Je pars x = 0. J'augmente x (fais des dessins) alors la zone hachuree diminue, la zone blanche augmente. J'augmente encore x... mais passé un certain cap, c'est le contraire qui se passe ! La zone blanche diminue et la zone hachurée augmente.

Exemple : Je pars de x = 8. Je diminue x (fais des dessins) alors la zone hachuree diminue, la zone blanche augmente. Je diminue encore x... mais passé un certain cap, c'est le contraire qui se passe ! la zone blanche diminue et la zone hachuree augmente.

En somme, tu cherches l'endroit où la zone blanche arrête de croître, et commence à diminuer. En l'occurence, c'est endroit, par symetrie de la situation, c'est x = 4.
A+

[Nao]

Merci beaucoup^^

[beagle]

comme dit plus haut intuitivement cela le fait de deux façons:
-on passe d'un max à un autre, c'est symétrique, le minimum peut difficilement ètre ailleurs qu'au ....
-majoration des parties non grisées, cela intuitivement pourrait ètre réalisé quand les rectangles seront devenus des carrés, donc ...

Ensuite mème sans dérivés:
minimum de :2(x-4)²+32
on peut difficilement diminuer +32
donc c'est minimume de 2(x-4)²
difficile de jouer sur le 2fois
donc miminum sera quand (x-4)² sera minimum, donc ...

[beagle]

j'adore cet exo,
et j'espère que la courbe est vue en mème temps,
vraiment avoir une courbe représentant la fonction,
et la voir bouger en bougeant le curseur sur le dessin des carrés,
c'est vraiment top.

pour (ax+b)²+c avec c positif
je trouve cela plutot bien de le bidouiller mentalement, sans appliquer une technique pure, la technique étant ainsi mieux comprise,...