Flocon de Von Koch

[cece89]

bonjour à tous

je fais un tpe sur les fractales et la nature et j'arbodes quelques fractales déterministes simples comme me flocon de koch seulement je n'ai pas encore vu les suites. Je n'arrive pas à introduire d'image mais il y en a dans des sujet antérieurs qui ne répondent pas à mes questions...

on se munit d'une triangle équilatéral dont les côtés mesurent 1. Chaque segment est alors divisé en trois parties égales puis on retire la partie centrale et on construite un triangle équilatéral à la place:

on va ainsi définir désir trois suites un an et cn respectivement le périmètre l'aire et le nombre de côté à l'étape n.

j'ai calculé u0=3 ao= (racine de 3)/2 c0=3
u1=4 a1= (2 racine de 3)/3 c1=12
u2=16/3 a2= (4 racine de trois)/3

on me demande de démontrer que u(n+1)= 4/3 u n

et que c (n+1)= 4 cn

mes calculs précédents le vérifient mais je n'arrive pas à le prouver pour une étape n quelconque


merci d'avance

[johnjohnjohn]

bonjour à tous

je fais un tpe sur les fractales et la nature et j'arbodes quelques fractales déterministes simples comme me flocon de koch seulement je n'ai pas encore vu les suites. Je n'arrive pas à introduire d'image mais il y en a dans des sujet antérieurs qui ne répondent pas à mes questions...

on se munit d'une triangle équilatéral dont les côtés mesurent 1. Chaque segment est alors divisé en trois parties égales puis on retire la partie centrale et on construite un triangle équilatéral à la place:

on va ainsi définir désir trois suites un an et cn respectivement le périmètre l'aire et le nombre de côté à l'étape n.

j'ai calculé u0=3 ao= (racine de 3)/2 c0=3
u1=4 a1= (2 racine de 3)/3 c1=12
u2=16/3 a2= (4 racine de trois)/3

on me demande de démontrer que u(n+1)= 4/3 u n

et que c (n+1)= 4 cn

mes calculs précédents le vérifient mais je n'arrive pas à le prouver pour une étape n quelconque


merci d'avance

ça s'appelle un raisonnement par récurrence . Et tu dois le maitriser ça te servira tout le temps que tu feras encore des maths ( y a quelques cas pratiques quand tu vas chez ton banquier , c'est une autre histoire ... ). Donc le raisonnement par récurrence c'est :

1) Tu vérifies que la propriété est vraie au rang n=no
2) Tu conjectures ( conjecturer ~ supposer ) que la propriété au rang n est vraie
3) Tu vérifies par le calcul ( tu reviens à ton triangle dans ton cas ) qu'elle est vérifiée au rang n+1

et si c'est le cas, ça veut dire que ce que tu avais supposé à l'étape 2 est vrai !

[cece89]

merci si j'ai bien compris

A partir des valeurs chiffrées j'en déduis que ma généralisation est vraie.
mais ma prof de maths dit toujours qu'un exemple ne prouve rien...

[cece89]

existe également une relation entre l'aire à une étape n et à une étape n+1 que je n'arrive pas à démontrer
il existe aussi une relation entre l'aire à l'épane n et à l'étape n+1

a (n+1)= a (n)+ 1/3^n* (racine de 3) / 4

donc je comprend qu'on peut en déduire que

a(n)= (racine de 3)/4 * la somme de p=0 juqu'à n ^(3-p)

puis a(n)= (3 racine de 3)/2 (1-3^(-n-1))

donc lorsque n tend vers l'infinie, u n tend vers l'infinie et an converge vers une valeur que je n'ai pas réussi à déterminer puisue nous n'avons pas encore vu les limites...

bonne soirée

[johnjohnjohn]

merci si j'ai bien compris

A partir des valeurs chiffrées j'en déduis que ma généralisation est vraie.
mais ma prof de maths dit toujours qu'un exemple ne prouve rien...

Voilà ce qu'est qu'une démonstration par récurrence

Soit la suite définie par Uo=1et Un+1=2.Un.

Tu as là une suite géométrique de raison 2 et donc tu sais que Un=(2)^n. Prouvons le

La démonstration par récurrence est la suivante :

Uo=1 , la propriété est elle vraie au rang 0 ?

Uo=(2)^0=1 , elle est donc vraie au rang 0

SUPPOSONS ( t'as bien lu là hein ?? ) que la propriété est vraie au rang n , c'est à dire que Un=(2)^n. Vérifions qu'elle l'est alors au rang n+1

Tu pars de ta définition de suite Un+1=2.Un

Un+1=2.Un=2.(2)^n=(2)^(n+1) , la propriété est vérifiée au rang n+1 et donc d'apres le théorème de récurrence, tu ADMETS ( à ton niveau et même au mien ) que la formule Un=(2)^n est juste.

Ce n'est pas un raisonnement qui se base sur un exemple, ta prof a sans doute déja évoqué ce qu'est un théorème de récurrence.


Tu peux maintenant t'interesser à ton flocon de Koch ...