Flocon de koch

[camilletro]

Excusez-moi, je sais que ce sujet est assez récurant, mais je bloque complètement sur une question.
Le flocon de koch est une figure géométrique que l’on obtient à partird’un triangle équilatéral par réitération dune transformation appliquée à chaque coté du triangle
On note Cn le nombre de segment qui constituent le flocon à l’étape n
J’ai trouvé Cn=3*4^n-1
On note Un la longueur d’un segment à l’étape n
J’ai trouvé Un=(1/3)^n-1
Le périmètre du flocon est Pn=3*(4/3)^n-1
On note An l’air du flocon à l’étape n
J’ai calculé A1=(racinede3)/4
De l’étape n à l’étape n+1, l’air est augmenté de celle de Cn triangles équilatéraux de coté Un+1
An+1 – An = ((racine de 3)/12) * (4/9)^n-1

Maintenant vienne les problèmes :
Il faut calculer (An – An-1) + … + (A2 – A1) de deux facons différentes
J’ai pensé à la somme de termes consécutifs : ((racine de 3)/12) + A1 * ((1-(4/9)^n-1)/(1-(4/9))
Mais je n’arrive pas a trouvé la seconde solution
Et comment faire après pour calculer An ?
Merci de me donner des pistes de réflexion

[Maks]

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi sur ton calcul : il n'y a pas de , et le nombre de termes est incorrect.

[Cheche]

Salut,

Pour ceux qui ne connaissent pas, je met la figure :



Question 1:

On note Cn le nombre de segment qui constituent le flocon à l’étape n.
Ta réponse : Cn=3*4^(n-1)

Etape 0 : "à partir d’un triangle équilatéral" => 3 côtés =>

Conclusion :
=> Les expressions de Cn et Un sont bonnes si tu considères que l'étape 1 est le triangle équilatéral. Or l'étape 1, c'est après une transformation.

P.S. : Pour la suite des questions, pourrais tu nous montrer rapidement tes démonstrations.

[Maks]

Ca dépend. Simple convention. Si l'énoncé ne précise rien d'autre, il a tout à fait le droit de dire que l'étape initiale est l'étape 1. Je trouve la phrase

Cn le nombre de segment qui constituent le flocon à l’étape n

peu explicite quant à la convention adoptée.

Attention cependant, il ne considère que le triangle, pas les segments accolés. Attention alors aux schémas trompeurs.

[camilletro]

Oui je confirme que selon l’exercice l’étape 1 est un triangle équilatéral
On a donc bien C1= 3
Et on considère que pour toutes les suites N est supérieur ou égale à 1
Il est vrai qu’en regardant je pense plutôt que le nombre de terme pour calculer (An – An-1) + … + (A2 – A1) est de n.

Quant au démonstration précédente :
Cn+1 = 4 Cn
Un+1= 1/3 Un
Pn= Cn * Un
Et An+1 – An = (Cn *(Un+1)^2 * racine de 3)/ 4
D’où les résultats obtenus
Mais la question suivante calculer (An – An-1) + … + (A2 – A1) de deux facons différentes me pose vraiment problème

[Maks]

Et si tu déplaçais les parenthèses ?
Est-il facile de calculer ?

Au passage, tu ne nous a pas donné ta première méthode, corrigée. Tu avais deux erreurs, regarde mon message un peu plus haut.

[camilletro]

En utilisant la formule : ((racine de 3)/12) * ((1-(4/9)^n)/(1-(4/9)) j’obtiens (3 racine de 3)/20
Et je suis désoler mais je ne vois pas en quoi cela nous arrange la seconde ecriture

[Maks]

Je ne suis pas certain de tes formules.
As-tu ?
J'ai simplement écris que l'aire à l'étape était l'aire à l'étape augmentée de l'aire de triangles équilatéraux de cotés .

[Maks]

D'ailleurs, je viens de me rendre compte que je m'étais trompé. Les côtés des triangles, dans ma formule, sont , et non .
La formule est donc . Non ? Dis-moi si tu n'es pas d'accord, je peux me tromper.

[camilletro]

je suis d'accord avec otre dernière formule. Pense vous il faut l'utiliser pour la question suivante ?

[Maks]

Et bien, cette formule ne te donne-t-elle pas ?

[camilletro]

oui elle me donne cela ... mais en quoi me permet elle de trouver (an- an+1) +....+(a2-a1) ?

[Maks]

Et bien tu as simplement
. Tu remplaces, et tu sommes. Tu devrais reconnaître une somme facile à calculer.

[camilletro]

merci beaucoup j'ai réussi à finir l'exercice
bonne fin de journée

[Maks]

Cool ! Alors, combien vaut l'aire ? Et le périmètre ?