Bon je me suis intéressé un peu plus à la factorisation par x²+x+1, j'aimerais que vous me disiez s'il existe des moyens plus rapides que celui que je vais développer ici.
En fait x²+x+1 comme cela a été dit admet deux racines complexes conjuguées, que je vais noter a et a'.
Si P est un polynôme a coefficients réels
P(a)=0 est équivalent à a et a' racines de P(x)
qui est équivalent à P(x)=(x-a)(x-a'Q(x)
ou encore à P(x)=(x²+x+1) Q(x).
Il suffit donc que a soit racine de P pour qu'il soit divisible par (x²+x+1)
On sait que a²+a+1=0
donc a²=-a-1
en multipliant par a plusieurs fois on trouve :
,
on retrouve périodiquement les valeurs précédentes
...etc
Donc si
P(a)=a-a-1+1=0, donc P(x) est divisible par x²+x+1
On trouve par division polynomiale