Factorisation [niveau 1ere S]

[caily]

Bonjour, pouvez vous m'aider à factoriser x^3-x²-x-2 ?
Je pense qu'il y a une ou plusieurs identités remarquables (de la forme a²-b²) seulement le '-2' m'embête...
Merci de votre réponse.
Cordialement.
Caily

[yvelines78]

bonjour,

x^3-x²-x-2=(x+a)(x²+bx+c)
développes le deuxième membre ett identifie-le au premier

A+

[Quidam]

bonjour,

x^3-x²-x-2=(x+a)(x²+bx+c)
développes le deuxième membre ett identifie-le au premier

A+

Cela ne mène à rien ! Si cela marchait, tout le monde saurait résoudre une équation du troisième degré !

Cela marche à condition d'avoir d'abord trouvé au moins une racine du polynôme : c'est d'ailleurs la seule méthode possible avant BAC ! Mais il faut d'abord trouver une racine !

Cherche une racine évidente !

[caily]

racine : 2
P(2) = 0

jusque là ok, mais apres...
je pense que Delta et la forme canonique ne serve a rien... non ?

[fonfon]

Salut,

racine : 2
P(2) = 0

jusque là ok, mais apres...
je pense que Delta et la forme canonique ne serve a rien... non ?

donc ton polynôme est factorisable par x-2 donc p(x) s'ecrit:
donc là tu developpes et tu identifies les coefficients avec x^3-x^2-x-2 ensuite tu etudies le polynôme du second degrè que tu as obtenu si en effet alors il n'y a pas de racines dans R pour le polynôme du second degrè donc

[Quidam]

racine : 2
P(2) = 0

Bravo !

je pense que Delta et la forme canonique ne serve a rien... non ?

Tu verras bien ! Je te signale que le fameux n'est rien d'autre qu'une lettre grecque, qui, au même titre que n'importe quelle autre lettre, représente ce que l'on a décidé qu'elle représente. Il ne suffit donc pas d'y faire référence comme ça "" pour que tout le monde comprenne ! Cela porte un nom : cela s'appelle le discriminant. Et, à ton niveau, cela ne peut être que le discriminant d'un trinôme du second degré. Par conséquent, cela n'a aucun sens de parler d'un discriminant, lorsqu'on est en face d'une équation du troisième degré, a fortiori de parler d'un "" sans avoir dit de quoi il s'agissait !

On t'a dit en cours que si le polynôme P a pour racine u, (P(u)=0) alors, P(x) pouvait se factoriser : P(x)=(x-u)*Q(x), le degré du polynôme Q étant une unité de moins que le degré de P.

Il en résulte que, puisque P est de degré 3, et puisque tu as trouvé que P(2)=0, tu es certain que l'on peut écrire : P(x)=(x-2)*Q(x), Q étant un polynôme de degré 2. Pour le trouver, applique la méthode indiquée par Yvelines78 ci-dessus, méthode qui devient dès lors valable : x^3-x²-x-2=(x-2)(ax²+bx+c)
Tu développes et tu identifies les coefficients !

Ensuite, il restera à factoriser (ax²+bx+c) et effectivement toutes les méthodes que tu as apprises pour ce type de problème sont applicables ! En particulier, la méthode faisant intervenir une certaine expression appelée discriminant, usuellement notée - mais on a le droit de l'appeler R, Z, ou -. N'oublie pas cependant qu'il existe plusieurs méthodes pour factoriser un trinôme, adaptées à différents cas de figure : utiliser le discriminant marche toujours, mais ce n'est pas obligatoire ! Il y a parfois des raccourcis !