Factorisation

[JérémyDubois]

Bonjour je me demadais comment factoriser des polynomes de degré 4 et supérieur. Faut il esayer de de trouver plusieurs racines évidentes ou bien existe-t-il une autre technique ?

[Pseuda]

Bonjour,

On ne sait pas factoriser systématiquement les polynômes de degré supérieur ou égal à 5 (mathématiquement impossible, théorie de Galois).
Mais on sait factoriser les polynômes de degré 3 ou 4 (méthodes de Ferrari, Cardan) mais c'est assez compliqué. Donc grosso modo, pour ces polynômes, le mieux est de trouver une racine évidente (si il y en a une....).

[chan79]

salut
on peut essayer d'écrire que le polynôme est égal à (x²+ax+b)(x²+cx+d) si le coef de est 1
Développer et identifier pour trouver a, b, c et d.

[Lostounet]

Bonjour je me demadais comment factoriser des polynomes de degré 4 et supérieur. Faut il esayer de de trouver plusieurs racines évidentes ou bien existe-t-il une autre technique ?

Voici un exemple de résolution détaillée d'une équation de degré 4 avec la méthode de Ferrari (que j'avais posté sur un autre topic).

Bon, voici une méthode un peu plus robuste (celle de Ferrari)


Effectuons le changement de variable suivant afin d'éliminer le terme en x^3:




Soit y un complexe quelconque (qui sera éventuellement réel), on a alors:

En remplaçant z^4 par sa valeur en fonction des monômes de plus faible degré



On souhaite que ce polynome en z soit un carré parfait, donc de discriminant nul.
Ce trinome a pour discriminant D:


Alors:

(En résolvant cette équation par la méthode de Cardan, nous pouvons le faire par la suite)
y = 27/4


En reportant cette valeur plus haut, nous avons alors:

donc le membre de droite est une identité remarquable que nous factorisons:


Ainsi on fait apparaître la forme a^2 - b^2


Donc:



Alors on revient sur le changement de variable affine en z (rappel: z = x + 3/2)


Finalement:


Qui est facile à résoudre.

[pascal16]

on sait une chose : si le polynôme est de degré impair, il admet au moins une racine.
les logiciels de calcul formel peuvent aider

Pour trouver les racines : tracer la fonction, ça aide.
Comme il a été dit : pas de méthode générale.

Il reste toutes le méthodes 'approximation :
- éléments finis
- dichotomie
- méthodes plus rapides que la dichotomie (Newton...)
- méthode pour ne pas rater une racine
...

[JérémyDubois]

salut
on peut essayer d'écrire que le polynôme est égal à (x²+ax+b)(x²+cx+d) si le coef de est 1
Développer et identifier pour trouver a, b, c et d.

Pourquoi ssi le coefficient est égal à 1

[JérémyDubois]

Ces méthodes par approximation sont-elles accessibles pour un élève de lycée

[Black Jack]

salut,

Il me semble qu'avec la méthode proposée par chan (message 9196), on arrive à un système de 4 équations à 4 inconnues ...

Mais qu'en tentant de résoudre ce système, on retombe sur des équations du 4eme degré ... Et donc, cette méthode me semble, sauf cas particuliers, être une impasse.

Me trompe-je ?
*****
Par Ferraris, OK.

[pascal16]

Pour les méthodes d'approximation : la dichotomie est explicitement au programme de seconde comme algorithme.

par élément finis : "pour x allant de 0 à 10 par pas de 0.1" aussi

[chan79]

Me trompe-je ?

salut
Tu ne te trompes évidemment pas. La méthode de Ferrari est la bonne.
Avec l'exemple de Lostounet, on peut arriver à deux relations entre b et c.
On peut trouver les nombres cherchés par une méthode graphique (intersection de deux cubiques). Autant dire que dans ce cas, c'est pas du tout intéressant.



le point A donne

le point B donne (on pouvait s'en douter)